Nos Exercícios de 1 a 8, calcule a integral iterada.
\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}} \int_{0}^{2-y} z d x d z d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla iterada
\int_{y=0}^{2}\int_{z=0}^{\sqrt{4-y^{2}}}\int_{x=0}^{2-y}z\;dx\,dz\,dy.
O conteúdo aqui é mudança de ordem de integração em iterada: vamos integrar primeiro em x, depois em z e por fim em y, sempre usando as propriedades básicas de integrais (constante em relação à variável de integração, linearidade etc.).

Passo 2

Integramos em x com z e y como constantes:
\int_{x=0}^{2-y}z\;dx = z\int_{0}^{2-y}dx = z\bigl[x\bigr]_{0}^{2-y} = z(2-y).

Passo 3

Agora inserimos esse resultado na integral sobre z:
\int_{z=0}^{\sqrt{4-y^{2}}}z(2-y)\;dz =(2-y)\int_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}}z\;dz =(2-y)\left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}} =(2-y)\frac{4-y^{2}}{2}.

Passo 4

Simplificamos o integrando antes de passar para y:
(2-y)\frac{4-y^{2}}{2} =\frac{1}{2}\bigl(8-4y-2y^{2}+y^{3}\bigr) =4-2y-y^{2}+\frac{y^{3}}{2}.
Agora integramos de y=0 a y=2:
\int_{0}^{2}\Bigl(4-2y-y^{2}+\tfrac{y^{3}}{2}\Bigr)dy =\Bigl[4y - y^{2} - \tfrac{y^{3}}{3} + \tfrac{y^{4}}{8}\Bigr]_{0}^{2}.
Substituindo y=2:
4\cdot2 - 2^{2} - \frac{2^{3}}{3} + \frac{2^{4}}{8} =8 - 4 - \frac{8}{3} + 2 =6 - \frac{8}{3} =\frac{18-8}{3} =\frac{10}{3}.

Resposta

\frac{10}{3}.

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