Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
9 y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes 9y'' + 6y' + y = 0.
O conteúdo envolvido é o método da equação característica para equações diferenciais lineares de segunda ordem.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y = e^{r x}. Substituindo em 9y'' + 6y' + y = 0, temos
9r^2 + 6r + 1 = 0,
que é a equação característica.

Passo 3

Calculamos o discriminante da equação característica:
\Delta = 6^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 36 - 36 = 0.
Como \Delta = 0, há uma raiz real dupla dada por
r = \frac{-6}{2\cdot9} = -\tfrac{1}{3}.

Passo 4

Para uma raiz dupla r=-\tfrac{1}{3}, a forma geral da solução da equação diferencial é
y(x) = \bigl(C_1 + C_2\,x\bigr)e^{r x}.
Substituindo r=-\tfrac{1}{3}, obtemos
y(x) = \bigl(C_1 + C_2\,x\bigr)e^{-\tfrac{x}{3}}.

Resposta

A solução geral é y(x) = \bigl(C_1 + C_2\,x\bigr)e^{-\tfrac{x}{3}}.

Exercícios relacionados