Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
  1. y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=3 e^{2 t}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' - 2y' - 3y = 3e^{2t},
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo exponencial. Para resolver, vamos encontrar primeiro a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' - 2y' - 3y = 0.
Formamos o polinômio característico
r^2 - 2r - 3 = 0,
que fatorando dá
(r - 3)(r + 1) = 0,
logo as raízes são r = 3 e r = -1. Assim, a solução homogênea é
y_h(t) = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t}.

Passo 3

Para a solução particular y_p, como o termo forçante é 3e^{2t} e 2 não coincide com as raízes 3 ou -1, propomos
y_p(t) = A e^{2t}.
Derivando, obtemos
y_p' = 2A e^{2t}, \quad y_p'' = 4A e^{2t}.
Substituindo na EDO original:
(4A e^{2t}) - 2(2A e^{2t}) - 3(A e^{2t}) = \bigl(4A - 4A - 3A\bigr)e^{2t} = -3A\,e^{2t}
deve ser igual a 3e^{2t}. Logo
-3A = 3 \quad\Longrightarrow\quad A = -1.
Então
y_p(t) = -e^{2t}.

Passo 4

A solução geral é a soma da parte homogênea com a particular:
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t} - e^{2t}.

Resposta

y(t) = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t} - e^{2t}.

Exercícios relacionados