Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
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Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo exponencial. Para resolver, vamos encontrar primeiro a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
A equação homogênea é
Formamos o polinômio característico
que fatorando dá
logo as raízes são
e
. Assim, a solução homogênea é
Passo 3
Para a solução particular
, como o termo forçante é
e
não coincide com as raízes
ou
, propomos
Derivando, obtemos
Substituindo na EDO original:
deve ser igual a
. Logo
Então
Passo 4
A solução geral é a soma da parte homogênea com a particular: