Usando o método de integração de funções racionais por frações parciais, calcule cada integral:
int \frac{2 x^{3}+10 x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{2x^{3} + 10x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx
que é uma função racional. Para resolver, vamos separar o numerador em partes que geram termos mais simples, usando a ideia de frações parciais sem montar o sistema completo.

Passo 2

Note que podemos escrever
2x^{3} + 10x = 2x\,(x^{2}+1) + 8x.
Logo
\frac{2x^{3} + 10x}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{2x\,(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)^{2}} \;+\;\frac{8x}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{2x}{x^{2}+1} \;+\;\frac{8x}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 3

Agora integramos cada parcela separadamente.
  1. Para \displaystyle \int \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx, faça u = x^{2}+1, du = 2x\,dx. Assim
\int \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx = \int \frac{du}{u} = \ln(u) = \ln(x^{2}+1).
  1. Para \displaystyle \int \frac{8x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx, use a mesma substituição u = x^{2}+1, du = 2x\,dx. Então
\int \frac{8x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = 4 \int u^{-2}\,du = 4 \bigl(-u^{-1}\bigr) = -\frac{4}{u} = -\frac{4}{x^{2}+1}.
Somando os resultados, obtemos
\int \frac{2x^{3} + 10x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \ln(x^{2}+1)\;-\;\frac{4}{x^{2}+1} \;+\; C.

Resposta

\displaystyle \ln(x^{2}+1)\;-\;\frac{4}{x^{2}+1}\;+\;C

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