Usando o método de integração de funções racionais por frações parciais, calcule cada integral:
int \frac{x^{2}+3 x+1}{x^{4}+5 x^{2}+4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}+3x+1}{x^{4}+5x^{2}+4}\,dx
usando o método de frações parciais. O conteúdo é integração de funções racionais, e vamos precisar fatorar o denominador em polinômios quadráticos e depois decompor em frações parciais.

Passo 2

Fatoramos o denominador como produto de quadráticos irreducíveis em ℝ. Observamos que
x^{4}+5x^{2}+4=(x^{2}+1)(x^{2}+4).

Passo 3

Montamos a decomposição em frações parciais:
\frac{x^{2}+3x+1}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)} =\frac{A\,x+B}{x^{2}+1}+\frac{C\,x+D}{x^{2}+4}.
Multiplicando ambos os lados por (x^{2}+1)(x^{2}+4), obtemos
x^{2}+3x+1=(A\,x+B)(x^{2}+4)+(C\,x+D)(x^{2}+1).

Passo 4

Expandindo e igualando coeficientes em x^{3},x^{2},x,\,\)constante, temos \[(A+C)x^{3}+(B+D)x^{2}+(4A+C)x+(4B+D)=x^{2}+3x+1.
Isto gera o sistema
\begin{cases} A+C=0,\\\ B+D=1,\\\\ 4A+C=3,\\\\ 4B+D=1. \end{cases}
Da primeira e terceira equações vem A=1\] e \(C=-1. Das outras duas vem B=0 e D=1.

Passo 5

Substituindo A,B,C,D na decomposição, a integral fica
\int\Bigl(\frac{x}{x^{2}+1}+\frac{-x+1}{x^{2}+4}\Bigr)\,dx =\int\frac{x}{x^{2}+1}\,dx+\int\frac{-x}{x^{2}+4}\,dx+\int\frac{1}{x^{2}+4}\,dx.

Passo 6

Calculamos cada primitiva:
  1. \displaystyle \int\frac{x}{x^{2}+1}\,dx=\tfrac12\ln\bigl(x^{2}+1\bigr).
  2. \displaystyle \int\frac{-x}{x^{2}+4}\,dx=-\tfrac12\ln\bigl(x^{2}+4\bigr).
  3. \displaystyle \int\frac{1}{x^{2}+4}\,dx=\frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr). Somando, obtemos
\tfrac12\ln(x^{2}+1)-\tfrac12\ln(x^{2}+4)+\tfrac12\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)+C.

Resposta

\frac12\ln\!\Bigl(\frac{x^{2}+1}{x^{2}+4}\Bigr) +\frac12\arctan\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)+C

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