Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^prime=x^2 /(1+y^2)

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos a solução geral da equação diferencial y' = x^21+y^2. Esse é um caso clássico de equação de variáveis separáveis, então vamos separar as variáveis e integrar os dois lados.

Passo 2

Separe as variáveis. Multiplicando ambos os lados por 1+y^2 e por dx, obtemos:
(1+y^2),dy = x^2,dx

Passo 3

Integre ambos os lados. Fazendo as integrais:
integral(1+y^2),dy = integral x^2,dx
Temos
y + y^33 = x^33 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Simplifique a expressão multiplicando tudo por 3 para limpar os denominadores. Assim:
3y + y^3 = x^3 + C'
Em que C' = 3C é outra constante arbitrária. Essa é a forma implícita da solução geral.

Resposta

A solução geral, de forma implícita, é
y^3 + 3y = x^3 + C

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