Suponha que f e g são contínuas, que f^2=g^2, e que f(x) neq 0 para todo x. Prove que ou f(x)=g(x) para todo x, ou f(x)=-g(x) para todo x.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos duas funções contínuas f e g tais que f²=g² e f(x)≠0 para todo x. Queremos mostrar que ou f(x)=g(x) para todo x, ou f(x)=−g(x) para todo x. Vamos precisar da fatoração de diferença de quadrados e de um argumento de conjuntos abertos em domínio conexo.

Passo 2

Como f²(x)=g²(x), temos para todo x:
(f(x)−g(x)) l(f(x)+g(x)r)=0
Isso implica que, para cada x, ou f(x)−g(x)=0 ou f(x)+g(x)=0. Definimos:
A = {x∈ℝ ∣ f(x)=g(x)},
B = {x∈ℝ ∣ f(x)=−g(x)}.

Passo 3

Observe que A∪B=ℝ e A∩B=∅.
As funções f−g e f+g são contínuas, logo A=(f−g)⁻¹({0}) e B=(f+g)⁻¹({0}) são fechados. Mas também são abertos. Por exemplo, se x₀∈A então f(x₀)=g(x₀)≠0, logo
f(x₀)+g(x₀)=2f(x₀)≠0
Pela continuidade de f+g existe um intervalo ao redor de x₀ onde f+g≠0, e nesse intervalo (f−g)(x)·(f+g)(x)=0 só pode ocorrer com f−g=0. Assim A é aberto. De modo análogo mostramos que B é aberto.

Passo 4

Como ℝ é connexo, a única forma de escrever ℝ como união de dois abertos disjuntos A e B é ter um deles vazio. Logo ou A=ℝ e B=∅, ou B=ℝ e A=∅.
Isso significa que ou f(x)=g(x) para todo x, ou f(x)=−g(x) para todo x.

Resposta

f(x)=g(x) para todo x ou f(x)=−g(x) para todo x.

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