Suponha que
e
são contínuas, que
, e que
para todo
. Prove que ou
para todo
, ou
para todo
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos duas funções contínuas f e g tais que f²=g² e f(x)≠0 para todo x. Queremos mostrar que ou f(x)=g(x) para todo x, ou f(x)=−g(x) para todo x. Vamos precisar da fatoração de diferença de quadrados e de um argumento de conjuntos abertos em domínio conexo.
Passo 2
Como f²(x)=g²(x), temos para todo x:
Isso implica que, para cada x, ou f(x)−g(x)=0 ou f(x)+g(x)=0. Definimos:
A = {x∈ℝ ∣ f(x)=g(x)},
B = {x∈ℝ ∣ f(x)=−g(x)}.
A = {x∈ℝ ∣ f(x)=g(x)},
B = {x∈ℝ ∣ f(x)=−g(x)}.
Passo 3
Observe que A∪B=ℝ e A∩B=∅.
As funções f−g e f+g são contínuas, logo A=(f−g)⁻¹({0}) e B=(f+g)⁻¹({0}) são fechados. Mas também são abertos. Por exemplo, se x₀∈A então f(x₀)=g(x₀)≠0, logo
As funções f−g e f+g são contínuas, logo A=(f−g)⁻¹({0}) e B=(f+g)⁻¹({0}) são fechados. Mas também são abertos. Por exemplo, se x₀∈A então f(x₀)=g(x₀)≠0, logo
Pela continuidade de f+g existe um intervalo ao redor de x₀ onde f+g≠0, e nesse intervalo (f−g)(x)·(f+g)(x)=0 só pode ocorrer com f−g=0. Assim A é aberto. De modo análogo mostramos que B é aberto.
Passo 4
Como ℝ é connexo, a única forma de escrever ℝ como união de dois abertos disjuntos A e B é ter um deles vazio. Logo ou A=ℝ e B=∅, ou B=ℝ e A=∅.
Isso significa que ou f(x)=g(x) para todo x, ou f(x)=−g(x) para todo x.
Isso significa que ou f(x)=g(x) para todo x, ou f(x)=−g(x) para todo x.
Resposta
f(x)=g(x) para todo x ou f(x)=−g(x) para todo x.