Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^prime=(x^2+x y+y^2) / x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = x^2 + x y + y^2x^2
Perceba que o membro direito é função de y/x, ou seja, é uma equação homogênea. Para resolver, vamos usar a substituição v = tfracyx e depois separar variáveis.

Passo 2

Como y = v x, temos
dydx = v + x dvdx
Substituindo na equação original:
v + xdvdx = 1 + v + v^2
Eliminando o v dos dois lados, sobra:
xdvdx = 1 + v^2

Passo 3

Agora separamos as variáveis:
dv1 + v^2 = dxx
Integramos ambos os lados:
integral dv1 + v^2 = integral dxx implies arctan(v) = ln|x| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Retornando à variável original, obtemos
v = tanl(ln|x| + Cr)
Como v = tfracyx, concluímos:
yx = tanl(ln|x| + Cr) implies y = x,tanl(ln|x| + Cr)

Resposta

y = x,tanl(ln|x| + Cr)

Exercícios relacionados