Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^prime=(x-e^-x) /(y+e^y)

Passo 1

A equação diferencial dada é de primeira ordem e do tipo separável, pois podemos escrever
y'=x-e^-xy+e^y
O conteúdo aqui é separação de variáveis e integração de antiderivadas.

Passo 2

Para separar as variáveis, multiplicamos ambos os lados por (y+e^y),dx e obtemos
(y+e^y),dy=(x-e^-x),dx

Passo 3

Agora aplicamos a integral indefinida em ambos os lados:
integral(y+e^y),dy=integral(x-e^-x),dx

Passo 4

Calculando as antiderivadas, chegamos a:
Lado esquerdo: integral y,dy=tfracy^22 e integral e^y,dy=e^y;
Lado direito: integral x,dx=tfracx^22 e integral -e^-x,dx=e^-x.
Incluindo a constante de integração C, a solução geral implícita é obtida.

Resposta

[\frac{y2}{2}+ey=\frac{x2}{2}+e{-x}+C]

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