Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
4 y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-3 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
4\,y''-4\,y'-3\,y=0.
Para resolver, vamos usar o método da equação característica, assumindo soluções do tipo y=e^{r x}.

Passo 2

Substituindo y=e^{r x} na equação, temos
4\,r^2 e^{r x} -4\,r e^{r x} -3\,e^{r x}=0.
Como e^{r x}\neq0, obtemos a equação característica
4r^2 -4r -3 = 0.

Passo 3

Resolvendo a quadrática
4r^2 -4r -3 = 0
pela fórmula de Bhaskara:
r = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 -4\cdot4\cdot(-3)}}{2\cdot4} =\frac{4 \pm \sqrt{16+48}}{8} =\frac{4 \pm 8}{8}.
Logo as raízes são
r_1 = \frac{4+8}{8} = \frac{3}{2}, \quad r_2 = \frac{4-8}{8} = -\frac{1}{2}.

Passo 4

Como as raízes r_1 e r_2 são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C_1\,e^{\frac{3}{2}x} + C_2\,e^{-\frac{1}{2}x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_1\,e^{\frac{3}{2}x}+C_2\,e^{-\frac{1}{2}x}.

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