Resolva o problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando
cresce.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
com as condições
O conteúdo é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método do polinômio característico para obter a solução geral e depois ajustar as constantes pelas condições iniciais.
Passo 2
Formamos o polinômio característico associado à EDO:
Resolvendo, temos
raiz dupla.
Passo 3
Quando o polinômio característico dá raiz dupla
, a forma geral da solução é
Para impor
, calculamos a derivada:
Passo 4
Aplicando as condições iniciais:
em ,
em
e
Logo, a solução específica é
Passo 5
Para esboçar o gráfico, note que em
vale
e a inclinação inicial é positiva (
), de modo que a curva sobe um pouco até um máximo em
e depois decai para zero. Quando
, o fator
domina e faz
Assim o comportamento assintótico é uma decaída exponencial até a linha
.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é
O gráfico parte de
, sobe levemente até um pico em
, e depois decresce exponencialmente, aproximando-se de zero quando
cresce.