Resolva o problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t cresce.
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0, \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 4\,y' + 4\,y = 0,
com as condições
y(0)=2,\quad y'(0)=1.
O conteúdo é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método do polinômio característico para obter a solução geral e depois ajustar as constantes pelas condições iniciais.

Passo 2

Formamos o polinômio característico associado à EDO:
r^2 + 4\,r + 4 = 0.
Resolvendo, temos
r = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 -4\cdot1\cdot4}}{2} = \frac{-4\pm0}{2} = -2
raiz dupla.

Passo 3

Quando o polinômio característico dá raiz dupla r=-2, a forma geral da solução é
y(t) = (C_1 + C_2\,t)\,e^{-2t}.
Para impor y'(0)=1, calculamos a derivada:
y'(t) = \frac{d}{dt}\bigl[(C_1 + C_2\,t)e^{-2t}\bigr] = \bigl(C_2 - 2(C_1 + C_2\,t)\bigr)e^{-2t}.

Passo 4

Aplicando as condições iniciais:
em t=0,
y(0) = C_1 = 2,
e
y'(0) = \bigl(C_2 - 2\,C_1\bigr) = 1 \;\Longrightarrow\; C_2 - 2\cdot2 = 1 \;\Longrightarrow\; C_2 = 5.
Logo, a solução específica é
y(t) = (2 + 5\,t)\,e^{-2t}.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, note que em t=0 vale y(0)=2 e a inclinação inicial é positiva ( y'(0)=1), de modo que a curva sobe um pouco até um máximo em t=\tfrac{1}{10} e depois decai para zero. Quando t\to\infty, o fator e^{-2t} domina e faz
y(t)\to0.
Assim o comportamento assintótico é uma decaída exponencial até a linha y=0.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(t) = (2 + 5\,t)\,e^{-2t}.
O gráfico parte de y(0)=2, sobe levemente até um pico em t=0,1, e depois decresce exponencialmente, aproximando-se de zero quando t cresce.

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