Resolva o problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando
cresce.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
O conteúdo envolvido é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, e vamos usar a equação característica para obter a solução geral.
Passo 2
Formamos a equação característica associada:
O discriminante é
logo as raízes são complexas conjugadas:
Passo 3
Como as raízes são
, a solução geral da EDO é
Passo 4
Para determinar
e
, usamos as condições iniciais. Primeiro,
Em seguida, calculamos
logo em
:
Passo 5
Substituindo
e
, obtemos a solução particular
Passo 6
O gráfico de
são oscilações senoidais de frequência
rad/s amortecidas por
. O comportamento para
é
ou seja, a solução se aproxima de zero à medida que
cresce, com amplitude decrescendo como
.
Resposta
cujo gráfico são oscilações amortecidas com envelope
e que tendem a zero quando
cresce.