Resolva o problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t cresce.
9 y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+82 y=0, \quad y(0)=-1, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
9\,y'' + 6\,y' + 82\,y = 0,\quad y(0) = -1,\quad y'(0) = 0.
O conteúdo envolvido é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, e vamos usar a equação característica para obter a solução geral.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
9r^2 + 6r + 82 = 0.
O discriminante é
\Delta = 6^2 - 4\cdot9\cdot82 = 36 - 2952 = -2916,
logo as raízes são complexas conjugadas:
r = \frac{-6 \pm \sqrt{-2916}}{18} = -\frac{6}{18} \pm \frac{54\,i}{18} = -\frac{1}{3} \pm 3\,i.

Passo 3

Como as raízes são r = -\tfrac{1}{3} \pm 3\,i, a solução geral da EDO é
y(t) = e^{-t/3}\bigl(A\cos(3t) + B\sin(3t)\bigr).

Passo 4

Para determinar A e B, usamos as condições iniciais. Primeiro,
y(0) = A = -1.
Em seguida, calculamos
y'(t) = e^{-t/3}\bigl((\tfrac{1}{3}A+3B)\cos(3t) + (\tfrac{1}{3}B-3A)\sin(3t)\bigr),
logo em t=0:
y'(0) = \tfrac{1}{3}A + 3B = 0 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{1}{3}(-1) + 3B = 0 \quad\Longrightarrow\quad B = -\tfrac{1}{9}.

Passo 5

Substituindo A e B, obtemos a solução particular
y(t) = -e^{-t/3}\Bigl(\cos(3t) + \tfrac{1}{9}\sin(3t)\Bigr).

Passo 6

O gráfico de y(t) são oscilações senoidais de frequência 3 rad/s amortecidas por e^{-t/3}. O comportamento para t\to\infty é
y(t)\longrightarrow 0,
ou seja, a solução se aproxima de zero à medida que t cresce, com amplitude decrescendo como e^{-t/3}.

Resposta

y(t) = -e^{-t/3}\Bigl(\cos(3t) + \tfrac{1}{9}\sin(3t)\Bigr),
cujo gráfico são oscilações amortecidas com envelope \pm e^{-t/3} e que tendem a zero quando t cresce.

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