Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
2 y^{\prime}+y=3 t

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
2\,y' + y = 3\,t
que é uma equação linear de primeira ordem. Vamos primeiro colocá-la em forma padrão
y' + \tfrac12\,y = \tfrac32\,t
e depois aplicar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(t) = \exp\!\Bigl(\int \tfrac12\,dt\Bigr) = e^{t/2}.
Multiplicando a equação padrão por \mu(t) obtemos
e^{t/2}\,y' + \tfrac12\,e^{t/2}\,y = \tfrac32\,t\,e^{t/2},
e o lado esquerdo é exatamente
\frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{t/2}\bigr).

Passo 3

Logo temos
\frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{t/2}\bigr) \;=\; \tfrac32\,t\,e^{t/2}.
Integramos ambos os lados em relação a t:
y\,e^{t/2} = \int \tfrac32\,t\,e^{t/2}\,dt + C.

Passo 4

Para calcular \displaystyle\int \tfrac32\,t\,e^{t/2}\,dt, fatoramos \tfrac32 e usamos integração por partes com
u = t, dv = e^{t/2}dt. Então
\int t\,e^{t/2}dt = 2t\,e^{t/2} - \int 2\,e^{t/2}dt = 2t\,e^{t/2} - 4\,e^{t/2} + K,
de onde
\int \tfrac32\,t\,e^{t/2}dt = 3t\,e^{t/2} - 6\,e^{t/2} + K'.

Passo 5

Substituindo de volta em y\,e^{t/2}
y\,e^{t/2} = 3t\,e^{t/2} - 6\,e^{t/2} + C
e, dividindo por e^{t/2}, obtemos
y(t) = 3t - 6 + C\,e^{-t/2}.

Resposta

A solução geral é
y(t) = 3t - 6 + C\,e^{-t/2},
onde C é uma constante arbitrária.

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