Resolva as equações diferenciais abaixo:
a)
\frac{d y}{d x}=\operatorname{sen}(5 x)
b) d x+e^{3 x} d y=0
c) x \frac{d x}{d y}=4 y
d) \frac{d y}{d x}=e^{3 x+2 y}
e) x \frac{d y}{d x}-4 y=x^{6} e^{x}
f) \left(x^{2}-9\right) \frac{d y}{d x}+x y=0
g) \frac{d y}{d x}+y=x ; y(0)=4
h) \frac{d y}{d x}+2 y=0
i) \frac{d y}{d x}+y=e^{3 x}
j) y^{`}+3 x^{2} y=x^{2}
k) x \frac{d y}{d x}+y=x^{2} y^{2}
l) \frac{d y}{d x}=(-2 x+y)^{2}-7, y(0)=0
m) \frac{d y}{d x}=\frac{y-x}{y+x}
n) \frac{d y}{d x}=(x+y+1)^{2}

Passo 1

O enunciado dá uma lista de equações diferenciais de primeira ordem (algumas separáveis, outras lineares, Bernoulli ou homogêneas) e, em dois casos, com condição inicial. Para cada item vamos identificar o tipo de ODE, aplicar o método adequado (separação de variáveis, fator integrante, mudança de variável etc.) e encontrar a solução geral (ou particular, quando há condição).

Passo 2

Para
\frac{dy}{dx} = \operatorname{sen}(5x),
é uma ODE separável trivial: basta integrar em x:
y(x) = \int \operatorname{sen}(5x)\,dx + C = -\tfrac{1}{5}\cos(5x) + C.

Passo 3

Para
dx + e^{3x}\,dy = 0
escrevemos
\frac{dy}{dx} = -e^{-3x},
e integramos em x:
y(x) = \int -e^{-3x}\,dx + C = \tfrac{1}{3}e^{-3x} + C.

Passo 4

Para
x\,\frac{dx}{dy} = 4y
escrevemos
\frac{dx}{dy} = \frac{4y}{x},
separamos: x\,dx = 4y\,dy e integramos:
\tfrac12 x^2 = 2y^2 + C \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 4y^2 + C'.

Passo 5

Para
\frac{dy}{dx} = e^{3x+2y},
separamos:
e^{-2y}dy = e^{3x}dx,
e integramos:
-\tfrac12 e^{-2y} = \tfrac13 e^{3x} + C.

Passo 6

Para
x\frac{dy}{dx} - 4y = x^6 e^x,
é linear em y. Colocamos em forma padrão:
\frac{dy}{dx} - \frac{4}{x}y = x^5 e^x.
O fator integrante é \mu(x)=x^{-4}. Multiplicando e integrando, obtemos
y(x)\,x^{-4} = \int x e^x\,dx + C = (x-1)e^x + C \quad\Longrightarrow\quad y(x)=x^4\bigl((x-1)e^x + C\bigr).

Passo 7

Para
(x^2-9)\,\frac{dy}{dx} + x\,y=0,
dividimos por x^2-9 e reconhecemos ODE linear homogênea:
\frac{dy}{dx} + \frac{x}{x^2-9}\,y = 0.
O fator integrante é (x^2-9)^{1/2}, logo
y(x)\,(x^2-9)^{1/2} = C \quad\Longrightarrow\quad y(x)=\frac{C}{\sqrt{x^2-9}}.

Passo 8

Para
\frac{dy}{dx} + y = x,\quad y(0)=4,
é linear não homogênea com \mu=e^{x}. Integramos:
y\,e^x = \int x e^x\,dx + C = (x-1)e^x + C,
então
y(x)=x-1 + Ce^{-x}.
Usando y(0)=4,:
4 = -1 + C\\ \Longrightarrow\\ C=5,
\boxed{y(x)=x-1+5e^{-x}}.

Passo 9

Para
\frac{dy}{dx} + 2y = 0,
é linear homogênea de coeficiente constante. Logo
y(x)=Ce^{-2x}.

Passo 10

Para
\frac{dy}{dx} + y = e^{3x},
o fator integrante é e^x. Integramos:
y\,e^x = \int e^{4x}dx + C = \tfrac14 e^{4x} + C \quad\Longrightarrow\quad y(x)=\tfrac14 e^{3x} + Ce^{-x}.

Passo 11

Para
y' + 3x^2y = x^2,
o fator integrante é e^{\int 3x^2dx}=e^{x^3}. Então
y\,e^{x^3} = \int x^2 e^{x^3}dx + C = \tfrac13 e^{x^3} + C \quad\Longrightarrow\quad y(x)=\tfrac13 + Ce^{-x^3}.

Passo 12

Para
x\frac{dy}{dx} + y = x^2y^2,
é Bernoulli de expoente n=2. Fazendo z=y^{-1} chega-se a
\frac{dz}{dx}-\frac{1}{x}z = -x,
cujo fator integrante é x^{-1}. Integramos e voltamos a y, chegando a
y(x)=\frac{1}{x(C - x)}.

Passo 13

Para
\frac{dy}{dx} = (-2x + y)^2 - 7,\quad y(0)=0,
fazemos v=y-2x, obtendo
\frac{dv}{dx} = v^2 - 9.
Separando variáveis e impondo v(0)=0
\frac{v-3}{v+3} = -e^{6x} \quad\Longrightarrow\quad v(x)=3\,\frac{1 - e^{6x}}{1+e^{6x}},
e como y=v+2x,
\boxed{y(x)=2x+3\,\frac{1 - e^{6x}}{1+e^{6x}}}.

Passo 14

Para
\frac{dy}{dx} = \frac{y-x}{y+x},
é homogênea em y/x. Fazendo v=y/x chega-se à integral implícita
\tfrac12\ln\bigl(v^2+1\bigr) + \arctan(v) = -\ln|x| + C,
com v=y/x.

Passo 15

Para
\frac{dy}{dx} = (x+y+1)^2,
fazemos u=x+y+1, o que leva a
\frac{du}{dx} = 1 + u^2 \quad\Longrightarrow\quad \arctan(u)=x + C \quad\Longrightarrow\quad y(x)=\tan(x+C)-x-1.

Resposta

a) y(x)=-\tfrac{1}{5}\cos(5x)+C
b) y(x)=\tfrac{1}{3}e^{-3x}+C
c) x^2=4y^2+C
d) -\tfrac12e^{-2y}=\tfrac13e^{3x}+C
e) y(x)=x^4\bigl((x-1)e^x+C\bigr)
f) y(x)=\dfrac{C}{\sqrt{x^2-9}}
g) y(x)=x-1+5e^{-x}
h) y(x)=Ce^{-2x}
i) y(x)=\tfrac14e^{3x}+Ce^{-x}
j) y(x)=\tfrac13+Ce^{-x^3}
k) y(x)=\dfrac{1}{x(C-x)}
l) y(x)=2x+3\,\dfrac{1-e^{6x}}{1+e^{6x}}
m) \tfrac12\ln\bigl((\tfrac yx)^2+1\bigr)+\arctan\bigl(\tfrac yx\bigr)=-\ln|x|+C
n) y(x)=\tan(x+C)-x-1

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