Resolva as equações diferenciais abaixo:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
Passo 1
O enunciado dá uma lista de equações diferenciais de primeira ordem (algumas separáveis, outras lineares, Bernoulli ou homogêneas) e, em dois casos, com condição inicial. Para cada item vamos identificar o tipo de ODE, aplicar o método adequado (separação de variáveis, fator integrante, mudança de variável etc.) e encontrar a solução geral (ou particular, quando há condição).
Passo 2
Para
é uma ODE separável trivial: basta integrar em
:
Passo 3
Para
escrevemos
e integramos em
:
Passo 4
Para
escrevemos
separamos:
e integramos:
Passo 5
Para
separamos:
e integramos:
Passo 6
Para
é linear em
. Colocamos em forma padrão:
O fator integrante é
. Multiplicando e integrando, obtemos
Passo 7
Para
dividimos por
e reconhecemos ODE linear homogênea:
O fator integrante é
, logo
Passo 8
Para
é linear não homogênea com
. Integramos:
então
Usando
,:
Passo 9
Para
é linear homogênea de coeficiente constante. Logo
Passo 10
Para
o fator integrante é
. Integramos:
Passo 11
Para
o fator integrante é
. Então
Passo 12
Para
é Bernoulli de expoente
. Fazendo
chega-se a
cujo fator integrante é
. Integramos e voltamos a
, chegando a
Passo 13
Para
fazemos
, obtendo
Separando variáveis e impondo
dá
e como
,
Passo 14
Para
é homogênea em
. Fazendo
chega-se à integral implícita
com
.
Passo 15
Para
fazemos
, o que leva a
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)