Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
  1. y^prime+2 y^prime-3 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método da equação característica, que consiste em substituir y(x)=e^r x na equação e obter um polinômio em r.

Passo 2

Escrevemos a equação diferencial em termos de derivadas:
y'' + 2y' - 3y = 0
Substituindo y=e^r x, temos y'=r e^r x e y''=r^2 e^r x. Logo a equação característica é
r^2 + 2r - 3 = 0

Passo 3

Resolvemos a equação quadrática
r^2 + 2r - 3 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara,
r = -2 pm raiz2^2 - 4cdot1cdot(-3)2cdot1 = -2 pm raiz4 + 122 = -2 pm 42
Assim obtemos as raízes reais e distintas
r1 = 1, r2 = -3

Passo 4

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x = C1 e^x + C2 e^-3x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

y(x) = C1 e^x + C2 e^-3x,
com C1,C2inR.

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