Resolva o problema de valor inicial e esboçe o gráfico da solução.
(a)
.
(a)
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
Perguntas que o problema faz:
- Encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais. - Esboçar o gráfico da solução (descrever comportamento qualitativo e pontos importantes para o desenho).
Informações relevantes fornecidas:
- É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo
. - Condições iniciais em
: e .
Passo 2
Primeiro passo técnico: resolver a equação homogênea associada para obter a solução complementar (solução da parte homogênea).
A equação homogênea é
A equação homogênea é
Procuramos soluções da forma
. Substituindo obtemos a equação característica
Resolver a equação característica: note que
logo há uma raiz dupla
com multiplicidade 2. Para uma raiz dupla
, a forma geral da solução da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. (Breve explicação: quando a raiz
tem multiplicidade 2, as soluções independentes são
e
.)
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação não-homogênea
Método escolhido: coeficientes indeterminados. Ideia: como o termo do lado direito é um polinômio de grau
, tentamos uma solução particular também polinomial de grau
:
onde
são constantes a determinar.
Observação sobre ressonância: o espaço das soluções homogêneas é formado por funções do tipo
e
, que não são polinômios; portanto não há necessidade de multiplicar o palpite polinomial por potências de
. Logo a escolha acima é válida.
Passo 4
Calcular as derivadas de
e substituir na equação:
Substituindo em
obtemos
Organizando os termos por potências de
:
Esse polinômio deve ser igual a
. Igualando coeficientes termo a termo:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: substituindo dá . - Coeficiente constante:
. Substituindo e obtemos , isto é .
Portanto
Passo 5
Construir a solução geral como soma da homogênea e da particular:
Agora aplicar as condições iniciais para determinar
e
.
Calcule
:
A condição
dá
Passo 6
Calcule
para usar
. Derivando
Usando regra do produto:
E
Logo
Avaliar em
:
A condição
dá
Como já temos
, obtemos
.
Passo 7
Substituindo as constantes na solução geral, a solução do problema de valor inicial é
(Faça uma verificação rápida: em
temos
. Para
use a expressão de
com
,
:
. Está consistente.)
Passo 8
Esboço do gráfico — análise qualitativa para desenhar no papel:
- Comportamento para grandes
: o termo exponencial domina. Para ,
portanto
rapidamente.
- Comportamento para
: o fator , então o termo exponencial tende a e o comportamento é dominado pelo polinômio , cujo termo dominante é ; portanto para também . - Há um mínimo global (porque a função tende a
em ambas as extremidades). Para achar o(s) pontos críticos resolva , isto é
(após substituir
e
). Essa equação não tem solução elementar fechada, mas numericamente tem uma raiz aproximada em
. Avaliando
nesse ponto obtém-se o valor mínimo aproximado
.
- Valores e inclinações iniciais:
e indicam que a curva passa pelo ponto subindo com inclinação positiva nesse ponto. - Pontos adicionais úteis para o esboço:
e (estes ajudam a posicionar o mínimo e a forma da curva).
Instrução prática para desenhar: marcar os pontos
,
,
; desenhar uma curva que desce vindo da direita negativa até o mínimo próximo de
com
e depois sobe, crescendo muito rápido para a direita por causa do termo
.