Resolva o problema de valor inicial e esboçe o gráfico da solução.
(a) y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=x^{2}+1, \quad y(0)=6, \quad y^{\prime}(0)=5.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y''-2y'+y=x^{2}+1,\qquad y(0)=6,\qquad y'(0)=5.
Perguntas que o problema faz:
  • Encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.
  • Esboçar o gráfico da solução (descrever comportamento qualitativo e pontos importantes para o desenho).
Informações relevantes fornecidas:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo x^{2}+1.
  • Condições iniciais em x=0: y(0)=6 e y'(0)=5.

Passo 2

Primeiro passo técnico: resolver a equação homogênea associada para obter a solução complementar (solução da parte homogênea).
A equação homogênea é
y''-2y'+y=0.
Procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}-2r+1=0.
Resolver a equação característica: note que
r^{2}-2r+1=(r-1)^{2},
logo há uma raiz dupla r=1 com multiplicidade 2. Para uma raiz dupla r=1, a forma geral da solução da homogênea é
y_{h}=(C_{1}+C_{2}x)e^{x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. (Breve explicação: quando a raiz r tem multiplicidade 2, as soluções independentes são e^{rx} e x e^{rx}.)

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p} da equação não-homogênea
y''-2y'+y=x^{2}+1.
Método escolhido: coeficientes indeterminados. Ideia: como o termo do lado direito é um polinômio de grau 2, tentamos uma solução particular também polinomial de grau 2:
y_{p}=ax^{2}+bx+c,
onde a,b,c são constantes a determinar.
Observação sobre ressonância: o espaço das soluções homogêneas é formado por funções do tipo e^{x} e x e^{x}, que não são polinômios; portanto não há necessidade de multiplicar o palpite polinomial por potências de x. Logo a escolha acima é válida.

Passo 4

Calcular as derivadas de y_{p} e substituir na equação:
y_{p}'=2ax+b,\qquad y_{p}''=2a.
Substituindo em y''-2y'+y obtemos
y_{p}''-2y_{p}'+y_{p}=2a-2(2ax+b)+(ax^{2}+bx+c).
Organizando os termos por potências de x:
y_{p}''-2y_{p}'+y_{p}=ax^{2}+(-4a+b)x+(2a-2b+c).
Esse polinômio deve ser igual a x^{2}+1. Igualando coeficientes termo a termo:
  • Coeficiente de x^{2}: a=1.
  • Coeficiente de x: -4a+b=0 \Rightarrow substituindo a=1 b=4.
  • Coeficiente constante: 2a-2b+c=1. Substituindo a=1 e b=4 obtemos 2-8+c=1, isto é c=7.
Portanto
y_{p}=x^{2}+4x+7.

Passo 5

Construir a solução geral como soma da homogênea e da particular:
y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{x}+x^{2}+4x+7.
Agora aplicar as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
Calcule y(0):
y(0)=(C_{1}+C_{2}\cdot 0)e^{0}+0^{2}+4\cdot 0+7=C_{1}+7.
A condição y(0)=6
C_{1}+7=6\quad\Rightarrow\quad C_{1}=-1.

Passo 6

Calcule y'(x) para usar y'(0)=5. Derivando
y'(x)=\frac{d}{dx}\big((C_{1}+C_{2}x)e^{x}\big)+\frac{d}{dx}(x^{2}+4x+7).
Usando regra do produto:
\frac{d}{dx}\big((C_{1}+C_{2}x)e^{x}\big)=C_{2}e^{x}+(C_{1}+C_{2}x)e^{x}=(C_{1}+C_{2}+C_{2}x)e^{x}.
E
\frac{d}{dx}(x^{2}+4x+7)=2x+4.
Logo
y'(x)=(C_{1}+C_{2}+C_{2}x)e^{x}+2x+4.
Avaliar em x=0:
y'(0)=(C_{1}+C_{2})\cdot 1 + 0 +4 = C_{1}+C_{2}+4.
A condição y'(0)=5
C_{1}+C_{2}+4=5\quad\Rightarrow\quad C_{1}+C_{2}=1.
Como já temos C_{1}=-1, obtemos C_{2}=2.

Passo 7

Substituindo as constantes na solução geral, a solução do problema de valor inicial é
y(x)=(-1+2x)e^{x}+x^{2}+4x+7.
(Faça uma verificação rápida: em x=0 temos y(0)=-1+7=6. Para y'(0) use a expressão de y'(x) com C_{1}=-1, C_{2}=2: y'(0)=(-1+2)+4=5. Está consistente.)

Passo 8

Esboço do gráfico — análise qualitativa para desenhar no papel:
  • Comportamento para grandes x: o termo exponencial domina. Para x\to+\infty,
(-1+2x)e^{x}\sim 2x e^{x}\to+\infty,
portanto y(x)\to+\infty rapidamente.
  • Comportamento para x\to -\infty: o fator e^{x}\to 0, então o termo exponencial tende a 0 e o comportamento é dominado pelo polinômio x^{2}+4x+7, cujo termo dominante é x^{2}; portanto para x\to-\infty também y(x)\to+\infty.
  • Há um mínimo global (porque a função tende a +\infty em ambas as extremidades). Para achar o(s) pontos críticos resolva y'(x)=0, isto é
(1+2x)e^{x}+2x+4=0
(após substituir C_{1}=-1 e C_{2}=2). Essa equação não tem solução elementar fechada, mas numericamente tem uma raiz aproximada em x\approx -1,785. Avaliando y nesse ponto obtém-se o valor mínimo aproximado y_{\min}\approx 2,28.
  • Valores e inclinações iniciais: y(0)=6 e y'(0)=5 indicam que a curva passa pelo ponto (0,6) subindo com inclinação positiva nesse ponto.
  • Pontos adicionais úteis para o esboço: y(-1)\approx 2,90 e y(-2)\approx 2,32 (estes ajudam a posicionar o mínimo e a forma da curva).
Instrução prática para desenhar: marcar os pontos (-2,\,2,32), (-1,\,2,90), (0,\,6); desenhar uma curva que desce vindo da direita negativa até o mínimo próximo de x\approx-1,8 com y\approx2,28 e depois sobe, crescendo muito rápido para a direita por causa do termo e^{x}.

Resposta

y(x)=(-1+2x)e^{x}+x^{2}+4x+7

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