Encontre a solução geral da equação diferencial utilizando o método dos coeficientes a determinar.
y^{\prime \prime}=9 x^{2}+2 x-1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'' = 9x^{2} + 2x - 1
e pede para encontrar a solução geral usando o método dos coeficientes a determinar. Ou seja, precisamos achar todas as funções y(x) que satisfazem essa igualdade, escrevendo a solução geral como soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada: substituir o lado direito por zero,
y''=0.
Isto é uma EDO com coeficientes constantes cujo polinômio característico é
r^{2}=0,
portanto a raiz é r=0 com multiplicidade 2. Logo a solução geral da homogênea é a combinação linear das soluções independentes 1 e x:
y_{h}=C_{1}+C_{2}x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora usamos o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular y_{p} da equação não homogênea. A direita é um polinômio de grau 2. Ao aplicar a derivada segunda a um polinômio de grau n obtém-se um polinômio de grau n-2. Para que a segunda derivada tenha grau 2, precisamos começar com um polinômio de grau 4. Portanto assumimos a forma candidata
y_{p}=a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e,
onde a,b,c,d,e são coeficientes a determinar. Observação útil: os termos dx+e pertencem ao espaço das soluções homogêneas (pois sua segunda derivada é zero), então para a solução particular podemos tomar d=e=0 depois de determinar que não são necessários; entretanto é pedagógico mantermos a forma geral e ver que eles não aparecem ao comparar coeficientes.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_{p}. Usando regra de potência (derivada de x^{n} é n x^{n-1}):
y_{p}'=4a x^{3}+3b x^{2}+2c x+d,
y_{p}''=12a x^{2}+6b x+2c.
Essas expressões estão corretas porque, por exemplo, a segunda derivada de a x^{4} é 4\cdot3\,a x^{2}=12a x^{2}, e assim por diante.

Passo 5

Impondo que y_{p}''\) seja igual ao lado direito da EDO, obtemos a identidade polinomial \[12a x^{2}+6b x+2c = 9x^{2}+2x-1.
Agora igualamos coeficiente a coeficiente dos termos em x^{2}, x e termo constante:
\begin{cases} 12a = 9,\\[4pt] 6b = 2,\\[4pt] 2c = -1. \end{cases}
Resolvendo cada uma:
a=\frac{9}{12}=\frac{3}{4},\qquad b=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},\qquad c=\frac{-1}{2}.
Quanto a d\] e \(e: eles não aparecem em y_{p}'' (a segunda derivada de dx+e é zero), então podemos escolhê-los iguais a zero na parte particular, porque quaisquer contribuições lineares constantes serão absorvidas pelos C_{1} e C_{2} da solução homogênea.]

Passo 6

Com os coeficientes encontrados, uma solução particular é
y_{p}=\frac{3}{4}x^{4}+\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}.
Verificação rápida: calcular a segunda derivada de y_{p}:
y_{p}''=12\cdot\frac{3}{4}x^{2}+6\cdot\frac{1}{3}x+2\cdot\Big(-\frac{1}{2}\Big) =9x^{2}+2x-1,
que coincide com o lado direito, portanto y_{p} é válida.
A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_{1}+C_{2}x+\frac{3}{4}x^{4}+\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}.

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}x+\frac{3}{4}x^{4}+\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}

Exercícios relacionados