Encontre a solução geral da a equação diferencial
y^{\prime}-y=x e^{x}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
y' - y = x e^{x},
e pede a solução geral y(x). As informações relevantes são:
  • A equação é linear de primeira ordem (há y' e y de forma linear).
  • O termo do lado direito é x e^{x}.
    O objetivo é encontrar a família de soluções que depende de uma constante arbitrária.

Passo 2

Vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
y' + p(x)\,y = q(x).
Comparando com \displaystyle y' - y = x e^{x}, obtemos
p(x) = -1,\qquad q(x)=x e^{x}.
A técnica mais direta aqui é usar um fator integrante \mu(x) — vou explicar o que é e por que funciona no próximo passo.

Passo 3

A ideia do fator integrante é transformar a equação em algo que seja a derivada de um produto. Se multiplicarmos a equação por \mu(x) queremos que o lado esquerdo vire (\mu y)'. Observe que
(\mu y)' = \mu y' + \mu' y.
Queremos \mu y' + \mu' y = \mu(y' + p y). Assim precisamos que \mu' = p\mu. Essa é uma equação separável para \mu, cuja solução é
\mu(x) = e^{\displaystyle\int p(x)\,dx}.
Portanto o procedimento geral é:
  1. calcular \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx};
  2. multiplicar a equação original por \mu(x), obtendo (\mu y)' = \mu q;
  3. integrar ambos os lados e isolar y.

Passo 4

Calculemos o fator integrante para p(x)=-1:
\mu(x)=e^{\displaystyle\int -1\,dx}=e^{-x}.
Multiplicando a equação original por \mu(x)=e^{-x} obtemos
e^{-x}y' - e^{-x}y = x.
Pela construção do fator integrante, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
\bigl(e^{-x}y\bigr)' = x.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \bigl(e^{-x}y\bigr)'\,dx = \int x\,dx.
Isso dá
e^{-x}y = \frac{x^{2}}{2} + C,
onde C é a constante de integração (número real arbitrário).

Passo 6

Isolando y, multiplica-se por e^{x}:
y(x)=e^{x}\left(\frac{x^{2}}{2}+C\right).
Podemos escrever a solução de forma mais compacta:
y(x)=\left(C+\frac{x^{2}}{2}\right)e^{x},
onde C\in\mathbb{R} é a constante arbitrária. Aqui a solução é a soma da solução geral da homogênea e de uma particular:
  • solução homogênea: y_{h}(x)=C e^{x};
  • solução particular: y_{p}(x)=\dfrac{x^{2}}{2}e^{x}.

Passo 7

Resumo rápido para a prova (memorizável e aplicável a casos semelhantes):
  • Escreva a equação como y' + p(x)y = q(x).
  • Calcule \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
  • Multiplique e note que a esquerda vira (\mu y)'.
  • Integre e isole y.
    Vai dar certo — respira fundo e confia no processo! 😃

Resposta

y(x)=\left(C+\frac{x^{2}}{2}\right)e^{x}

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