Encontre a solução geral da a equação diferencial
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
e pede a solução geral
. As informações relevantes são:
- A equação é linear de primeira ordem (há
e de forma linear). - O termo do lado direito é
.
O objetivo é encontrar a família de soluções que depende de uma constante arbitrária.
Passo 2
Vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Comparando com
, obtemos
A técnica mais direta aqui é usar um fator integrante
— vou explicar o que é e por que funciona no próximo passo.
Passo 3
A ideia do fator integrante é transformar a equação em algo que seja a derivada de um produto. Se multiplicarmos a equação por
queremos que o lado esquerdo vire
. Observe que
Queremos
. Assim precisamos que
. Essa é uma equação separável para
, cuja solução é
Portanto o procedimento geral é:
- calcular
; - multiplicar a equação original por
, obtendo ; - integrar ambos os lados e isolar
.
Passo 4
Calculemos o fator integrante para
:
Multiplicando a equação original por
obtemos
Pela construção do fator integrante, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Isso dá
onde
é a constante de integração (número real arbitrário).
Passo 6
Isolando
, multiplica-se por
:
Podemos escrever a solução de forma mais compacta:
onde
é a constante arbitrária. Aqui a solução é a soma da solução geral da homogênea e de uma particular:
- solução homogênea:
; - solução particular:
.
Passo 7
Resumo rápido para a prova (memorizável e aplicável a casos semelhantes):
- Escreva a equação como
. - Calcule
. - Multiplique e note que a esquerda vira
. - Integre e isole
.
Vai dar certo — respira fundo e confia no processo! 😃