Encontre a solução geral da a equação diferencial homogênea
y^{\prime \prime}+13 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
y'' + 13y = 0.
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) dessa equação (não há condições iniciais dadas, então queremos a família geral de soluções com constantes arbitrárias).

Passo 2

Ideia prática (método que vamos usar): tentar uma solução do tipo exponencial y(x)=e^{rx}, onde r é um número (possivelmente complexo) desconhecido. Por que isso funciona? Porque ao derivar uma exponencial a operação retorna a própria exponencial multiplicada por uma constante, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r — a chamada equação característica.

Passo 3

Substituindo y(x)=e^{rx} na equação:
  • Primeiro, y'(x)=r e^{rx}.
  • Depois, y''(x)=r^{2} e^{rx}.
    Colocando na ODE:
r^{2} e^{rx} + 13 e^{rx} = 0.
Como e^{rx} nunca é zero, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação característica:
r^{2} + 13 = 0.

Passo 4

Resolver a equação característica:
r^{2} = -13 \quad\Rightarrow\quad r = \pm i\sqrt{13}.
Portanto as raízes são complexas conjugadas r_{1}=i\sqrt{13} e r_{2}=-i\sqrt{13}.

Passo 5

Teoria necessária (explicação didática): quando as raízes da equação característica são complexas conjugadas da forma r=\alpha\pm i\beta com \alpha,\beta\in\mathbb{R} e \beta>0, as soluções complexas e^{(\alpha\pm i\beta)x} levam, pelas fórmulas de Euler, às funções reais
e^{\alpha x}\cos(\beta x)\quad\text{e}\quad e^{\alpha x}\sin(\beta x).
Essas duas funções são linearmente independentes e sua combinação linear com constantes reais arbitrárias gera a solução geral real da ODE:
y(x)=e^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias.
Breve justificativa usando Euler: e^{(\alpha + i\beta)x}=e^{\alpha x}(\cos(\beta x)+i\sin(\beta x)). Tomando partes real e imaginária obtém-se as duas soluções reais independentes acima.

Passo 6

Aplicando ao caso atual: aqui \alpha=0 e \beta=\sqrt{13}. Pelo ponto anterior, as soluções reais fundamentais são \cos(\sqrt{13}\,x) e \sin(\sqrt{13}\,x). Assim, a solução geral é a combinação linear dessas duas funções com constantes reais arbitrárias.

Passo 7

Verificação direta (para confiança): calcular as segundas derivadas
  • Para u(x)=\cos(\sqrt{13}\,x): u'(x) = -\sqrt{13}\sin(\sqrt{13}\,x),\qquad u''(x) = -13\cos(\sqrt{13}\,x) = -13 u(x).
  • Para v(x)=\sin(\sqrt{13}\,x): v'(x) = \sqrt{13}\cos(\sqrt{13}\,x),\qquad v''(x) = -13\sin(\sqrt{13}\,x) = -13 v(x).
Qualquer combinação linear y(x)=A\,u(x)+B\,v(x) satisfaz então y''+13y= A(u''+13u)+B(v''+13v)=0, confirmando que a combinação linear é solução.

Passo 8

Observação final e incentivo: as constantes multiplicadoras são arbitrárias reais porque a ODE é linear e homogênea — qualquer combinação linear de soluções é solução. Conseguiu! Esse é um tipo clássico de ODE que cai direto pelo método da equação característica. Vai dar certo na prova, respira e pratique mais um parecido que fica ainda mais natural.

Resposta

y(x)=C_{1}\cos\big(\sqrt{13}\,x\big)+C_{2}\sin\big(\sqrt{13}\,x\big)

Exercícios relacionados