Encontre a solução geral da a equação diferencial homogênea
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
O que se pede: encontrar a solução geral
dessa equação (não há condições iniciais dadas, então queremos a família geral de soluções com constantes arbitrárias).
Passo 2
Ideia prática (método que vamos usar): tentar uma solução do tipo exponencial
, onde
é um número (possivelmente complexo) desconhecido. Por que isso funciona? Porque ao derivar uma exponencial a operação retorna a própria exponencial multiplicada por uma constante, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para
— a chamada equação característica.
Passo 3
Substituindo
na equação:
- Primeiro,
. - Depois,
.
Colocando na ODE:
Como
nunca é zero, podemos dividir por
e obter a equação característica:
Passo 4
Resolver a equação característica:
Portanto as raízes são complexas conjugadas
e
.
Passo 5
Teoria necessária (explicação didática): quando as raízes da equação característica são complexas conjugadas da forma
com
e
, as soluções complexas
levam, pelas fórmulas de Euler, às funções reais
Essas duas funções são linearmente independentes e sua combinação linear com constantes reais arbitrárias gera a solução geral real da ODE:
onde
e
são constantes reais arbitrárias.
Breve justificativa usando Euler:
. Tomando partes real e imaginária obtém-se as duas soluções reais independentes acima.
Passo 6
Aplicando ao caso atual: aqui
e
. Pelo ponto anterior, as soluções reais fundamentais são
e
. Assim, a solução geral é a combinação linear dessas duas funções com constantes reais arbitrárias.
Passo 7
Verificação direta (para confiança): calcular as segundas derivadas
- Para
: - Para
:
Qualquer combinação linear
satisfaz então
, confirmando que a combinação linear é solução.
Passo 8
Observação final e incentivo: as constantes multiplicadoras são arbitrárias reais porque a ODE é linear e homogênea — qualquer combinação linear de soluções é solução. Conseguiu! Esse é um tipo clássico de ODE que cai direto pelo método da equação característica. Vai dar certo na prova, respira e pratique mais um parecido que fica ainda mais natural.