Resolva o problema de valor inicial e esboçe o gráfico da solução.
y^{\prime \prime}+y=0, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)=1;

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e duas condições:
  • Equação diferencial: y''+y=0.
  • Condições: y(0)=1 e y'\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1.
O que é pedido:
  • Encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação e as duas condições.
  • Esboçar (descrever) o gráfico da solução: forma geral, amplitude, fase, pontos importantes (máximos, zeros, valores em pontos notáveis).

Passo 2

Vamos achar a solução geral da equação homogênea. Para equações lineares com coeficientes constantes, procura-se solução do tipo e^{rx}. Substituindo em y''+y=0 obtém-se a equação característica
r^{2}+1=0.
As raízes são r=\pm i. Quando as raízes são complexas conjugadas \pm i, a solução geral real é combinação linear de cosseno e seno:
y(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais a determinar pelas condições iniciais.

Passo 3

Calcular a derivada de y(x) (vai servir para aplicar a segunda condição):
y'(x) = -C_{1}\sin x + C_{2}\cos x.
Aqui usei regras básicas de diferenciação: \dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x e \dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x.

Passo 4

Aplicar a condição y(0)=1. Substituindo x=0 em y(x):
y(0)=C_{1}\cos 0 + C_{2}\sin 0 = C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot 0 = C_{1}.
Logo
C_{1}=1.

Passo 5

Aplicar a condição y'\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1. Primeiro substitui C_{1}=1 em y'(x):
y'(x) = -1\cdot\sin x + C_{2}\cos x = -\sin x + C_{2}\cos x.
Agora avalia em x=\dfrac{\pi}{4}. Lembrando que \sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, obtemos
y'\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} + C_{2}\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
A condição diz que isso vale 1, então
\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,(C_{2}-1)=1.
Isolando C_{2}:
C_{2}-1 = 1\cdot\dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}, \qquad\text{portanto}\qquad C_{2}=1+\sqrt{2}.

Passo 6

Substituindo C_{1} e C_{2} na solução geral, obtemos a solução particular procurada:
y(x)=\cos x + (1+\sqrt{2})\sin x.
Parabéns: essa função satisfaz y''+y=0, y(0)=1 e y'\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1.

Passo 7

Para entender melhor o gráfico é útil escrever a solução na forma de seno deslocado (amplitude-fase). Procuramos R>0 e \varphi tais que
y(x)=R\sin(x+\varphi).
Comparando com y(x)=A\cos x + B\sin x (aqui A=1,\;B=1+\sqrt{2}), tem-se
R\sin\varphi = A = 1,\qquad R\cos\varphi = B = 1+\sqrt{2}.
Daí a amplitude
R=\sqrt{A^{2}+B^{2}}=\sqrt{1^{2}+(1+\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{4+2\sqrt{2}}.
E o ângulo \varphi satisfaz
\tan\varphi=\dfrac{A}{B}=\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}.
Usando a identidade de meio-ângulo \tan\!\left(\dfrac{t}{2}\right)=\dfrac{1-\cos t}{\sin t} com t=\dfrac{\pi}{4} obtém-se \tan\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\sqrt{2}-1. Observando que \dfrac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1, conclui-se que
\varphi=\dfrac{\pi}{8}.
Portanto uma forma alternativa e muito informativa da solução é
y(x)=\sqrt{4+2\sqrt{2}}\;\sin\!\left(x+\dfrac{\pi}{8}\right).

Passo 8

Esboço do gráfico (descrição passo a passo, para você desenhar na prova sem calculadora):
  • É uma senoide de período 2\pi.
  • Amplitude: R=\sqrt{4+2\sqrt{2}}\approx 2{,}615.
  • Deslocamento de fase: \varphi=\dfrac{\pi}{8} para a esquerda (porque é \sin(x+\varphi)).
  • Alguns pontos importantes:
    • y(0)=1 (dado).
    • Derivada em zero: y'(0)=1+\sqrt{2}\approx 2{,}414 (ou seja, a curva está subindo bem inclinada em x=0).
    • Máximo principal ocorre quando x+\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\pi}{2}, isto é em x=\dfrac{3\pi}{8}; o valor máximo é y_{\max}=R\approx 2{,}615.
    • y\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1+\sqrt{2}\approx 2{,}414.
    • y(\pi)=-1.
  • Com essas informações, desenhe uma senoide começando em x=0 com valor 1, subindo até o máximo em x=\dfrac{3\pi}{8}, descendo passando por x=\dfrac{\pi}{2} com y\approx 2{,}414, continuando até cruzar e atingir y(\pi)=-1, e repetindo com período 2\pi.

Resposta

y(x)=\cos x + (1+\sqrt{2})\sin x
y(x)=\sqrt{4+2\sqrt{2}}\;\sin\!\left(x+\dfrac{\pi}{8}\right)

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