Resolva o problema de valor inicial e esboçe o gráfico da solução.
;
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e duas condições:
- Equação diferencial:
. - Condições:
e .
O que é pedido:
- Encontrar a solução
que satisfaz a equação e as duas condições. - Esboçar (descrever) o gráfico da solução: forma geral, amplitude, fase, pontos importantes (máximos, zeros, valores em pontos notáveis).
Passo 2
Vamos achar a solução geral da equação homogênea. Para equações lineares com coeficientes constantes, procura-se solução do tipo
. Substituindo em
obtém-se a equação característica
As raízes são
. Quando as raízes são complexas conjugadas
, a solução geral real é combinação linear de cosseno e seno:
onde
e
são constantes reais a determinar pelas condições iniciais.
Passo 3
Calcular a derivada de
(vai servir para aplicar a segunda condição):
Aqui usei regras básicas de diferenciação:
e
.
Passo 4
Aplicar a condição
. Substituindo
em
:
Logo
Passo 5
Aplicar a condição
. Primeiro substitui
em
:
Agora avalia em
. Lembrando que
, obtemos
A condição diz que isso vale
, então
Isolando
:
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução particular procurada:
Parabéns: essa função satisfaz
,
e
.
Passo 7
Para entender melhor o gráfico é útil escrever a solução na forma de seno deslocado (amplitude-fase). Procuramos
e
tais que
Comparando com
(aqui
), tem-se
Daí a amplitude
E o ângulo
satisfaz
Usando a identidade de meio-ângulo
com
obtém-se
. Observando que
, conclui-se que
Portanto uma forma alternativa e muito informativa da solução é
Passo 8
Esboço do gráfico (descrição passo a passo, para você desenhar na prova sem calculadora):
- É uma senoide de período
. - Amplitude:
. - Deslocamento de fase:
para a esquerda (porque é ). - Alguns pontos importantes:
-
(dado). - Derivada em zero:
(ou seja, a curva está subindo bem inclinada em ). - Máximo principal ocorre quando
, isto é em ; o valor máximo é . -
. -
.
-
- Com essas informações, desenhe uma senoide começando em
com valor , subindo até o máximo em , descendo passando por com , continuando até cruzar e atingir , e repetindo com período .