(2,5 pt) Encontre a solução geral da equação diferencial,
y^{\prime \prime}-\left(\frac{2}{x}+5\right) y^{\prime}+\left(\frac{5}{x}+\frac{2}{x^{2}}\right) y=0
sabendo que a sua soluçõ particular é dada por y_{1}(x)=x.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem
y'' - \Bigl(\frac{2}{x}+5\Bigr)y' + \Bigl(\frac{5}{x}+\frac{2}{x^2}\Bigr)y=0,
sabendo que uma solução particular é y_{1}(x)=x. O conteúdo necessário é o método de redução de ordem para equações lineares homogêneas de segunda ordem.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
y'' + P(x)\,y' + Q(x)\,y = 0.
Dividindo tudo por 1, vemos que
P(x) = -\Bigl(\frac{2}{x}+5\Bigr), \quad Q(x) = \frac{5}{x} + \frac{2}{x^2}.

Passo 3

Pela redução de ordem, se y_1 é solução, a segunda solução vale
y_2 = y_1 \int \frac{\exp\bigl(-\int P(x)\,dx\bigr)}{y_1^2}\,dx.
Calculamos primeiro
-\int P(x)\,dx = -\int \Bigl[-\bigl(\tfrac{2}{x}+5\bigr)\Bigr]dx = \int\bigl(\tfrac{2}{x}+5\bigr)\,dx = 2\ln x + 5x.
Logo
\exp\bigl(-\!\int P\,dx\bigr)=x^2 e^{5x}.

Passo 4

O integrando fica
\frac{x^2 e^{5x}}{(y_1)^2} =\frac{x^2 e^{5x}}{x^2} = e^{5x}.
Integramos:
\int e^{5x}\,dx = \frac{1}{5}e^{5x}.

Passo 5

Logo a segunda solução é
y_2(x) = y_1(x)\,\frac{1}{5}e^{5x} = \frac{x e^{5x}}{5}.
Absorvendo a constante 1/5 no coeficiente geral, obtemos a solução geral.

Resposta

y(x) = C_1\,x + C_2\,x e^{5x}.

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