( 2,5 \mathrm{pt} ) Atenção: neste problema, todos os valores numéricos são dados no Sistema Internacional (portanto, não é necessário fazer nenhuma conversão de unidades). Um bloco de massa 1 kg desliza sobre um eixo horizontal, preso a uma mola de constante elástica 21 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O bloco sofre a força de atrito numericamente igual a 10 vezes a velocidade do bloco num dado instante e está sujeito a uma força externa F(t)=8 e^{-7 t}. Inicialmente o bloco encontra-se em repouso e na posição do equilíbrio.
(a) Escreva o PVI (equação diferencial e condições iniciais) que descreve a posição x(t) do bloco em função do tempo.
(b) Encontre a solução geral da equação diferencial.

Passo 1

O problema descreve um bloco de massa 1\,\mathrm{kg} preso a uma mola de constante elástica 21\,\mathrm{N/m}, sujeito a amortecimento viscoso de coeficiente 10\,\mathrm{N\,s/m} (força de atrito =10\,v) e a uma força externa F(t)=8e^{-7t}. Queremos montar o PVI para a posição x(t) e resolver a EDO obtida.

Passo 2

A equação do movimento, pela segunda lei de Newton, é
m\,x''(t) + c\,x'(t) + k\,x(t) = F(t)
Substituindo m=1, c=10, k=21 e F(t)=8e^{-7t}, obtemos
x''(t) + 10\,x'(t) + 21\,x(t) = 8e^{-7t}
As condições iniciais são
x(0) = 0,\quad x'(0) = 0.

Passo 3

Para a parte homogênea, consideramos
x_h'' + 10\,x_h' + 21\,x_h = 0
A equação característica é
r^2 + 10r + 21 = 0
Resolvendo,
r = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2} = \{-3,\,-7\}
Logo
x_h(t) = C_1 e^{-3t} + C_2 e^{-7t}.

Passo 4

Para uma solução particular, como o termo forçante é 8e^{-7t} e -7 já é raiz da característica, usamos o ansatz
x_p(t) = A\,t\,e^{-7t}.
Calculando derivadas:
x_p'(t) = A(1 - 7t)e^{-7t},\quad x_p''(t) = (49A\,t - 14A)e^{-7t}.
Substituindo em x''+10x'+21x=8e^{-7t}:
(49A\,t - 14A) + 10(1-7t)A + 21\,tA = -4A = 8 \quad\Longrightarrow\quad A = -2.
Então
x_p(t) = -2\,t\,e^{-7t}.

Passo 5

A solução geral da EDO é
x(t) = x_h(t) + x_p(t) = C_1 e^{-3t} + C_2 e^{-7t} - 2\,t\,e^{-7t}.

Resposta

(a)
\begin{cases} x''(t) + 10\,x'(t) + 21\,x(t) = 8e^{-7t},\\\ x(0)=0,\;x'(0)=0. \end{cases}
(b)
x(t) = C_1 e^{-3t} + C_2 e^{-7t} - 2\,t\,e^{-7t}.

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