(
) Um tanque com uma capacidade de 192 litros contém inicialmente 24 litros de água pura. A partir do instante
, entra água com
de sal por litro a uma velocidade de 4 litros por minuto. A solução, bem misturada, é drenada do tanque a uma taxa de 1 litro por minuto. Determine a quantidade de sal na água em função do tempo. Encontre a quantidade de sal no tanque no momento em que ele começa a transbordar.
Passo 1
O enunciado descreve um tanque de capacidade de
L que começa com
L de água pura (
kg de sal). A partir de
entra solução com concentração de
kg de sal por litro à vazão de
L/min, e sai solução bem misturada à vazão de
L/min. O volume interno cresce a
L/min, então
onde
é o instante de transbordo, e queremos achar
= massa de sal (kg) no tanque.
Passo 2
Montamos a equação de balanço de massa de sal. A taxa de entrada de sal é
A taxa de saída é a concentração interna
multiplicada por
L/min, ou seja
Logo a EDO é
com condição inicial
.
Passo 3
Resolvendo por fator integrante, escrevemos
O fator integrante é
Multiplicando a EDO por
obtemos
Integrando em
, seja
,
, dá
Assim
onde
.
Passo 4
Aplicamos
com
:
Substituindo em
:
Para simplificar note que
,
ficando a forma mais elegante
ficando a forma mais elegante
Passo 5
O transbordo ocorre quando
, ou seja
Logo a massa de sal nesse instante é
Resposta
A quantidade de sal no tanque no instante
é
e no momento do transbordo (
min) têm-se
kg.