( 2,5 \mathrm{pt} ) Um tanque com uma capacidade de 192 litros contém inicialmente 24 litros de água pura. A partir do instante t=0, entra água com 0,5 \mathrm{~kg} de sal por litro a uma velocidade de 4 litros por minuto. A solução, bem misturada, é drenada do tanque a uma taxa de 1 litro por minuto. Determine a quantidade de sal na água em função do tempo. Encontre a quantidade de sal no tanque no momento em que ele começa a transbordar.

Passo 1

O enunciado descreve um tanque de capacidade de 192 L que começa com 24 L de água pura ( 0 kg de sal). A partir de t=0 entra solução com concentração de 0,5 kg de sal por litro à vazão de 4 L/min, e sai solução bem misturada à vazão de 1 L/min. O volume interno cresce a 4-1=3 L/min, então
V(t)=24+3t,\quad 0\le t\le t^*,
onde t^* é o instante de transbordo, e queremos achar A(t)= massa de sal (kg) no tanque.

Passo 2

Montamos a equação de balanço de massa de sal. A taxa de entrada de sal é
\text{in} = 0,5\;\tfrac{\text{kg}}{\text{L}}\times 4\;\tfrac{\text{L}}{\min}=2\;\tfrac{\text{kg}}{\min}.
A taxa de saída é a concentração interna \tfrac{A(t)}{V(t)} multiplicada por 1 L/min, ou seja
\text{out}=\frac{A(t)}{24+3t}\times1.
Logo a EDO é
A'(t)=2-\frac{A(t)}{24+3t},
com condição inicial A(0)=0.

Passo 3

Resolvendo por fator integrante, escrevemos
A'(t)+\frac{1}{24+3t}\,A(t)=2.
O fator integrante é
\mu(t)=\exp\Bigl(\int\frac{1}{24+3t}dt\Bigr) =\exp\Bigl(\tfrac{1}{3}\ln(24+3t)\Bigr) =(24+3t)^{1/3}.
Multiplicando a EDO por \mu(t) obtemos
\frac{d}{dt}\bigl[A(t)(24+3t)^{1/3}\bigr] =2\,(24+3t)^{1/3}.
Integrando em t, seja u=24+3t, du=3\,dt, dá
A(t)(24+3t)^{1/3} =\int 2\,(24+3t)^{1/3}dt =\tfrac12\,(24+3t)^{4/3}+C.
Assim
A(t) =\frac{\tfrac12\,u^{4/3}+C}{u^{1/3}} =\tfrac12\,u+C\,u^{-1/3},
onde u=24+3t.

Passo 4

Aplicamos A(0)=0 com u(0)=24:
0=\tfrac12\cdot24 + C\cdot24^{-1/3} \;\Longrightarrow\; C=-12\cdot24^{1/3}.
Substituindo em A(t):
A(t) =\frac12(24+3t) -12\cdot24^{1/3}\,(24+3t)^{-1/3}.
Para simplificar note que (24+3t)^{-1/3}= \bigl(\frac{24}{24+3t}\bigr)^{1/3}\,24^{-1/3},
ficando a forma mais elegante
A(t) =12+1{,}5\,t -12\Bigl(\frac{24}{24+3t}\Bigr)^{1/3}.

Passo 5

O transbordo ocorre quando V(t^*)=192, ou seja
24+3t^*=192 \;\Longrightarrow\; t^*=56\;\text{min}.
Logo a massa de sal nesse instante é
A(56) =\tfrac12\cdot192 -12\cdot24^{1/3}\cdot192^{-1/3} =96-12\bigl(\tfrac{24}{192}\bigr)^{1/3} =96-12\bigl(\tfrac18\bigr)^{1/3} =96-12\cdot\tfrac12 =90\;\text{kg}.

Resposta

A quantidade de sal no tanque no instante t é
A(t) =\frac12(24+3t) -12\;24^{1/3}\,(24+3t)^{-1/3},
e no momento do transbordo ( t=56 min) têm-se A(56)=90 kg.

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