(2,5 \mathrm{pt}) Resolve o problema do valor de contorno
x^{2} y^{\prime \prime}+5 x y^{\prime}+30 y=0, \quad y(1)=0, \quad y(e)=\frac{1}{e^{2}}
Justifique todas as passagens.

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de contorno
x^{2}y''+5xy'+30y=0,\quad y(1)=0,\quad y(e)=\frac{1}{e^{2}}.
Este é um caso clássico de equação de Euler–Cauchy. Para resolvê-la, vamos tentar uma solução da forma y=x^{m}, pois essa é a técnica padrão para esses casos.

Passo 2

Assumindo y=x^{m}, calculamos as derivadas
y'=m\,x^{m-1}, \quad y''=m(m-1)\,x^{m-2}.
Substituindo em \;x^{2}y''+5xy'+30y=0;, vem
x^{2}\bigl[m(m-1)x^{m-2}\bigr]+5x\bigl[mx^{m-1}\bigr]+30x^{m}=0 \;\Longrightarrow\; m(m-1)+5m+30=0 \;\Longrightarrow\; m^{2}+4m+30=0.

Passo 3

Resolvendo a equação característica
m^{2}+4m+30=0 \quad\Longrightarrow\quad m=\frac{-4\pm\sqrt{16-120}}{2}=-2\pm i\sqrt{26}.
Como as raízes são complexas m=\alpha\pm i\beta com \alpha=-2 e \beta=\sqrt{26}, a solução geral real é
y(x) = x^{\alpha}\bigl(C_{1}\cos(\beta\ln x)+C_{2}\sin(\beta\ln x)\bigr) = x^{-2}\bigl(C_{1}\cos(\sqrt{26}\,\ln x)+C_{2}\sin(\sqrt{26}\,\ln x)\bigr).

Passo 4

Usamos a condição y(1)=0. Como \ln1=0 e 1^{-2}=1,
y(1)=C_{1}\cos0+C_{2}\sin0=C_{1}=0 \;\Longrightarrow\; C_{1}=0.

Passo 5

Com C_{1}=0, a solução fica
y(x)=C_{2}\,x^{-2}\sin(\sqrt{26}\,\ln x).
Agora a condição y(e)=1/e^{2}, sabendo que \ln e=1 e e^{-2}=1/e^{2}, dá
y(e)=C_{2}\,e^{-2}\sin(\sqrt{26})=\frac1{e^{2}} \;\Longrightarrow\; C_{2}\sin(\sqrt{26})=1 \;\Longrightarrow\; C_{2}=\frac{1}{\sin(\sqrt{26})}.

Resposta

y(x)=\frac{x^{-2}\,\sin\bigl(\sqrt{26}\,\ln x\bigr)}{\sin(\sqrt{26})}.

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