Encontre a solução geral da equação diferencial de primeira ordem (Bernoulli)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para encontrar a solução geral
. Informações relevantes fornecidas:
- A variável dependente é
e a independente é . - A equação envolve
, logo a solução só faz sentido em intervalos onde esteja definido (tipicamente ).
Nada mais é pedido além da solução geral.
Passo 2
Vamos colocar a equação numa forma padrão dividindo por
(assumindo momentaneamente
):
Aqui já aparece a forma característica da equação de Bernoulli, que tem termo linear em
e um termo com potência
(neste caso
).
Passo 3
Explico o método de Bernoulli (passo-a-passo, sem pular etapas): uma equação de Bernoulli tem a forma
onde
e
são funções de
e
é um número real. Para resolvê-la usa-se a substituição
porque ela transforma a equação não-linear numa equação linear em
. No nosso caso temos
, então a substituição será
Passo 4
Calcular a derivada de
em função de
. Como
,
Dessa expressão isolamos
quando for necessário:
Passo 5
Substituir
e
na equação original dividida por
. Partimos de
Substituindo
e dividindo tudo por
(para usar
) obtemos:
Como
, isto fica
Rearranjando para a forma padrão de equação linear em
:
Passo 6
Resolver a equação linear
Aqui
. O fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtemos
O lado esquerdo é a derivada do produto
. Assim
Passo 7
Integrar ambos os lados em função de
:
onde
é constante de integração. Vamos calcular a integral por partes. Tome
e
. Então
e
(pois
). Pela fórmula de integração por partes,
E
. Portanto
Substituindo de volta (absorvendo constantes numa só
):
Passo 8
Multiplicando por
obtemos
:
Lembrando que
, fazemos a substituição inversa para obter
:
Logo a solução geral é
onde
é a constante arbitária de integração. Observação sobre domínio: devido ao
e
, a expressão é válida em intervalos onde
e o denominador não se anula.