Encontre a solução geral da equação diferencial de primeira ordem (Bernoulli)
x \frac{d y}{d x}+y=y^{2} \ln (x)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\frac{dy}{dx}+y=y^{2}\ln(x)
e pede para encontrar a solução geral y(x). Informações relevantes fornecidas:
  • A variável dependente é y e a independente é x.
  • A equação envolve \ln(x), logo a solução só faz sentido em intervalos onde \ln(x) esteja definido (tipicamente x>0).
    Nada mais é pedido além da solução geral.

Passo 2

Vamos colocar a equação numa forma padrão dividindo por x (assumindo momentaneamente x\neq0):
\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=\frac{y^{2}\ln(x)}{x}.
Aqui já aparece a forma característica da equação de Bernoulli, que tem termo linear em y e um termo com potência y^{n} (neste caso n=2).

Passo 3

Explico o método de Bernoulli (passo-a-passo, sem pular etapas): uma equação de Bernoulli tem a forma
\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n},
onde P(x) e Q(x) são funções de x e n é um número real. Para resolvê-la usa-se a substituição
z = y^{1-n},
porque ela transforma a equação não-linear numa equação linear em z. No nosso caso temos n=2, então a substituição será
z = y^{1-2}=y^{-1}=\frac{1}{y}.

Passo 4

Calcular a derivada de z em função de x. Como z=y^{-1},
\frac{dz}{dx} = -y^{-2}\frac{dy}{dx}.
Dessa expressão isolamos \dfrac{dy}{dx} quando for necessário:
\frac{dy}{dx} = -y^{2}\frac{dz}{dx}.

Passo 5

Substituir \dfrac{dy}{dx} e z na equação original dividida por x. Partimos de
\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=\frac{y^{2}\ln(x)}{x}.
Substituindo \dfrac{dy}{dx}=-y^{2}\dfrac{dz}{dx} e dividindo tudo por y^{2} (para usar z=1/y) obtemos:
- x\frac{dz}{dx} + \frac{1}{y} = \ln(x).
Como \dfrac{1}{y}=z, isto fica
- x\frac{dz}{dx} + z = \ln(x).
Rearranjando para a forma padrão de equação linear em z:
\frac{dz}{dx} - \frac{1}{x}z = -\frac{\ln(x)}{x}.

Passo 6

Resolver a equação linear
\frac{dz}{dx} - \frac{1}{x}z = -\frac{\ln(x)}{x}.
Aqui p(x)=-\dfrac{1}{x}. O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int -\frac{1}{x}\,dx\right)=\exp(-\ln x)=x^{-1}.
Multiplicando a equação por \mu(x)=x^{-1} obtemos
x^{-1}\frac{dz}{dx}-x^{-2}z = -x^{-2}\ln(x).
O lado esquerdo é a derivada do produto \dfrac{d}{dx}\big(x^{-1}z\big). Assim
\frac{d}{dx}\big(x^{-1}z\big) = -x^{-2}\ln(x).

Passo 7

Integrar ambos os lados em função de x:
x^{-1}z = \int -x^{-2}\ln(x)\,dx + C,
onde C é constante de integração. Vamos calcular a integral por partes. Tome u=\ln(x) e dv=-x^{-2}dx. Então du=\dfrac{1}{x}dx e v=\dfrac{1}{x} (pois \dfrac{d}{dx}(1/x)=-1/x^{2}). Pela fórmula de integração por partes,
\int -x^{-2}\ln(x)\,dx = \frac{\ln(x)}{x} - \int \frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{\ln(x)}{x} - \int x^{-2}\,dx.
E \int x^{-2}\,dx = -\dfrac{1}{x}. Portanto
\int -x^{-2}\ln(x)\,dx = \frac{\ln(x)}{x} + \frac{1}{x} + C_{1}.
Substituindo de volta (absorvendo constantes numa só C):
x^{-1}z = \frac{\ln(x)}{x} + \frac{1}{x} + C.

Passo 8

Multiplicando por x obtemos z:
z = \ln(x) + 1 + Cx.
Lembrando que z=\dfrac{1}{y}, fazemos a substituição inversa para obter y:
\frac{1}{y} = \ln(x) + 1 + Cx.
Logo a solução geral é
y(x) = \frac{1}{\ln(x)+1+Cx},
onde C é a constante arbitária de integração. Observação sobre domínio: devido ao \ln(x) e 1/y, a expressão é válida em intervalos onde x>0 e o denominador não se anula.

Resposta

y(x)=\frac{1}{\ln(x)+1+Cx}

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