Encontre a solução geral da equação diferencial de primeira ordem (linear)
\frac{d y}{d x}=\operatorname{tg}(x) y+\cos (x)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\operatorname{tg}(x)\,y+\cos(x)
e pede a solução geral y(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é de primeira ordem (apenas dy/dx aparece).
  • O coeficiente multiplicando y é \operatorname{tg}(x)=\tan(x).
  • Há um termo não-homogêneo \cos(x).
    A tarefa é encontrar a família de soluções y(x) que satisfaz essa igualdade (ou seja, a solução geral com constante de integração).

Passo 2

Colocar a equação na forma linear padrão. A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).
Reescrevendo a equação dada:
\frac{dy}{dx}-\tan(x)\,y=\cos(x).
Assim podemos identificar
P(x)=-\tan(x),\qquad Q(x)=\cos(x).
Explicação didática: escrever na forma y'+P(x)y=Q(x) é útil porque existe um procedimento sistemático (fator integrante) que transforma a equação numa derivada exata, facilitando a integração. Aqui P(x) é a função que multiplica y e Q(x) é o termo independente.

Passo 3

Introduzir o fator integrante. O fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Aplicando com P(x)=-\tan(x):
\mu(x)=\exp\!\left(\int -\tan(x)\,dx\right).
Calcular a integral \int -\tan(x)\,dx. Como \tan(x)=\dfrac{\sin x}{\cos x},
\int -\tan(x)\,dx=\int -\frac{\sin x}{\cos x}\,dx=\ln\bigl|\cos x\bigr|+C.
Portanto
\mu(x)=\exp\!\bigl(\ln\bigl|\cos x\bigr|\bigr)=\bigl|\cos x\bigr|.
Comentário prático: podemos escolher \mu(x)=\cos x em cada intervalo onde \cos x mantém sinal (pois um fator multiplicativo constante pode ser absorvido na constante de integração). Importante: a solução será válida em intervalos onde \cos x\neq0 (isto é, onde \mu não se anula).

Passo 4

Multiplicar a equação original pelo fator integrante. Ao multiplicar por \mu(x)=\cos x obtemos
\cos x\;\frac{dy}{dx}-\cos x\,\tan x\;y=\cos x\cos x.
Simplificar o termo do meio usando \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}:
\cos x\;\frac{dy}{dx}-\sin x\;y=\cos^2 x.
Agora reconhecer que o lado esquerdo é a derivada do produto \cos x\cdot y. De fato, pela regra do produto,
\frac{d}{dx}\bigl(\cos x\;y\bigr)=\cos x\;\frac{dy}{dx}+\bigl(\cos x\bigr)'\,y=\cos x\;\frac{dy}{dx}-\sin x\;y.
Logo a equação multiplicada fica
\frac{d}{dx}\bigl(\cos x\;y\bigr)=\cos^2 x.
Explicação didática: o fator integrante foi escolhido exatamente para transformar o lado esquerdo numa derivada total \dfrac{d}{dx}(\mu y), o que torna a resolução por integração direta possível.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x. Temos
\cos x\;y=\int \cos^2 x\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Agora calcular a integral \int \cos^2 x\,dx. Usar a identidade de redução
\cos^2 x=\frac{1+\cos(2x)}{2}.
Assim
\int \cos^2 x\,dx=\int \frac{1+\cos(2x)}{2}\,dx=\frac{1}{2}\int dx+\frac{1}{2}\int \cos(2x)\,dx.
Calculando:
\frac{1}{2}\int dx=\frac{x}{2},\qquad \frac{1}{2}\int \cos(2x)\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin(2x)}{2}=\frac{\sin(2x)}{4}.
Portanto
\int \cos^2 x\,dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin(2x)}{4}+C_1,
onde C_1 é constante. Absorvendo constantes, escrevemos a solução integrada como
\cos x\;y=\frac{x}{2}+\frac{\sin(2x)}{4}+C.

Passo 6

Isolar y. Dividindo ambos os membros por \cos x (válido para x em intervalos onde \cos x\neq0) obtemos
y=\frac{\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin(2x)}{4}+C}{\cos x}.
Simplificar o termo com \sin(2x). Usando \sin(2x)=2\sin x\cos x,
\frac{\sin(2x)}{4\cos x}=\frac{2\sin x\cos x}{4\cos x}=\frac{\sin x}{2}.
Logo uma forma mais simples da solução é
y=\frac{x}{2\cos x}+\frac{\sin x}{2}+C\operatorname{sec} x,
onde \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}. Comentário final: a constante C aqui é arbitrária; a solução é válida em cada intervalo em que \cos x não se anula (entre os pontos x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi).

Resposta

y=\frac{x}{2\cos x}+\frac{\sin x}{2}+C\operatorname{sec} x

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