Encontre a solução geral da equação diferencial de primeira ordem (linear) \frac{d y}{d x}=\operatorname{tg}(x) y+\cos (x)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\operatorname{tg}(x)\,y+\cos(x)
e pede a solução geral y(x).
Informações relevantes fornecidas:
A equação é de primeira ordem (apenas dy/dx aparece).
O coeficiente multiplicando y é \operatorname{tg}(x)=\tan(x).
Há um termo não-homogêneo \cos(x).
A tarefa é encontrar a família de soluções y(x) que satisfaz essa igualdade (ou seja, a solução geral com constante de integração).
Passo 2
Colocar a equação na forma linear padrão. A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).
Reescrevendo a equação dada:
\frac{dy}{dx}-\tan(x)\,y=\cos(x).
Assim podemos identificar
P(x)=-\tan(x),\qquad Q(x)=\cos(x).
Explicação didática: escrever na forma y'+P(x)y=Q(x) é útil porque existe um procedimento sistemático (fator integrante) que transforma a equação numa derivada exata, facilitando a integração. Aqui P(x) é a função que multiplica y e Q(x) é o termo independente.
Passo 3
Introduzir o fator integrante. O fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Aplicando com P(x)=-\tan(x):
\mu(x)=\exp\!\left(\int -\tan(x)\,dx\right).
Calcular a integral \int -\tan(x)\,dx. Como \tan(x)=\dfrac{\sin x}{\cos x},
Comentário prático: podemos escolher \mu(x)=\cos x em cada intervalo onde \cos x mantém sinal (pois um fator multiplicativo constante pode ser absorvido na constante de integração). Importante: a solução será válida em intervalos onde \cos x\neq0 (isto é, onde \mu não se anula).
Passo 4
Multiplicar a equação original pelo fator integrante. Ao multiplicar por \mu(x)=\cos x obtemos
Explicação didática: o fator integrante foi escolhido exatamente para transformar o lado esquerdo numa derivada total \dfrac{d}{dx}(\mu y), o que torna a resolução por integração direta possível.
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a x. Temos
\cos x\;y=\int \cos^2 x\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Agora calcular a integral \int \cos^2 x\,dx. Usar a identidade de redução
onde \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}. Comentário final: a constante C aqui é arbitrária; a solução é válida em cada intervalo em que \cos x não se anula (entre os pontos x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi).
Resposta
y=\frac{x}{2\cos x}+\frac{\sin x}{2}+C\operatorname{sec} x