Encontre a solução geral da equação diferencial e resolva o P.V.I.:
y^prime prime+t^2 y^prime+t^2 y=5 sin (t), y(0)=-1, y^prime(0)=2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' + t^2,y' + t^2,y = 5sin(t)
e em seguida o P.V.I. y(0)=-1, y'(0)=2. Como t=0 é ponto ordinário (os coeficientes são funções analíticas), usamos séries de potências centradas em 0.

Passo 2

Suponha
y(t)=sumn=0^infty an,t^n
Então
y'(t)=sumn=0^infty (n+1)an+1,t^n, y''(t)=sumn=0^infty (n+2)(n+1)an+2,t^n,
t^2y'(t)=sumn=2^infty (n-1)an-1,t^n, t^2y(t)=sumn=2^infty an-2,t^n

Passo 3

Somando e igualando ao desenvolvimento
vem, para cada
Isso define recorrentemente . Os parâmetros livres são e , dando a solução geral em séries.

Passo 4

Para o P.V.I. temos a0=y(0)=-1 e a1=y'(0)=2. Calculando os primeiros coeficientes:
  • n=0: 2a2=0implies a2=0.
  • n=1: 6a3=tfrac51!implies a3=tfrac56.
  • n=2: 12a4+(1cdot a1+a0)=0implies12a4+1=0implies a4=-tfrac112.
  • n=3: 20a5+(2a2+a1)=-tfrac56implies20a5+2=-tfrac56implies a5=-tfrac17120.

Passo 5

Portanto a solução particular do P.V.I. é
y(t)=-1+2t+0,t^2+56t^3-112t^4-17120t^5+cdots,
onde os demais an para n>=2 são definidos pela recorrência do Passo 3.

Resposta

y(t)=sumn=0^infty an,t^n, a0=-1,;a1=2,
(n+2)(n+1),an+2+ (n-1)an-1+an-2,&n>=2, 0,&n=0,1 = 5(-1)^k(2k+1)!,&n=2k+1, 0,&caso contrário á
com primeiros termos
y(t)=-1+2t+tfrac56t^3-tfrac112t^4-tfrac17120t^5+cdots

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