Encontre a solução geral da E.D.O:
t^2 y^prime prime-4 t y^prime+6 y=0, t>0
Em que y 1(t)=t^2 é solução da mesma.

Passo 1

O enunciado dá a EDO
t^2y''-4t,y'+6y=0, t>0,
e informa que uma solução é y1(t)=t^2. Trata-se de uma equação de Euler–Cauchy. Para obter a segunda solução independente, vamos usar o método de redução de ordem.

Passo 2

Primeiro colocamos em forma padrão
y'' - 4t,y' + 6t^2,y = 0,
onde P(t)=-tfrac4t. A fórmula de redução de ordem diz que
y2(t)=y1(t),integral e^-integral P(t),dty1(t)^2,dt
Calculamos
integral P(t),dt = integral -4t,dt = -4ln t,
logo
e^-integral P(t),dt = e^4ln t = t^4
Como y1(t)=t^2, temos y1(t)^2=t^4 e o integrando fica
t^4t^4 = 1
Portanto
y2(t)=t^2,integral 1,dt = t^2,t = t^3

Passo 3

As duas soluções independentes são t^2 e t^3. Logo a solução geral é combinação linear delas.

Resposta

y(t) = C1,t^2 + C2,t^3, C1,C2inR

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