Encontre a solução geral da equação diferencial utilizando o método dos coeficientes a determinar.
y^{\prime \prime}+4 y=3 e^{4 x}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y'' + 4y = 3e^{4x}
e pede a solução geral da equação. Informações relevantes que temos:
  • A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo do lado direito (não homogêneo) é 3e^{4x}.
  • Precisamos encontrar a solução geral y(x), que é a soma de uma solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.

Passo 2

Encontrar a solução geral da equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito zero):
y'' + 4y = 0.
Método: procurar soluções do tipo y=e^{rx}. Substituindo,
r^{2}e^{rx} + 4 e^{rx} = 0 \quad\Rightarrow\quad (r^{2}+4)e^{rx}=0.
Como e^{rx}\neq0, obtemos a equação característica
r^{2}+4=0.
Resolvendo,
r^{2}=-4 \quad\Rightarrow\quad r=\pm 2i.
Quando as raízes são complexas conjugadas r=\alpha\pm i\beta, a solução geral real da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{\alpha x}\cos(\beta x)+C_{2}e^{\alpha x}\sin(\beta x).
Aqui \alpha=0 e \beta=2, portanto
y_{h}(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora vamos achar uma solução particular y_{p}(x) da equação completa usando o método dos coeficientes a determinar.
Ideia do método (explicação didática): quando o termo não-homogêneo é uma função simples como e^{ax}, polinômio, seno/cosseno ou produto desses, tenta-se um ansatz (uma forma tentativa) semelhante ao do lado direito com coeficientes desconhecidos. Em seguida substitui-se esse ansatz na equação e determina-se os coeficientes resolvendo um sistema algébrico.
Aplicando aqui: o lado direito é 3e^{4x}. A escolha natural é tentar
y_{p}(x)=A e^{4x},
com A constante a determinar. Antes de usar, verificar se existe ressonância: ressonância ocorre se e^{4x} fizer parte das soluções da homogênea (isto é, se r=4 fosse raiz da característica). A característica tem raízes \pm 2i, portanto r=4 não é raiz — não há ressonância — e o ansatz A e^{4x} é adequado.

Passo 4

Calcular as derivadas do ansatz e substituí-las na equação para determinar A.
Derivadas:
y_{p}'(x)=4A e^{4x},\qquad y_{p}''(x)=16A e^{4x}.
Substituindo em \;y''+4y=3e^{4x}\;:
16A e^{4x} + 4\bigl(A e^{4x}\bigr) = 3e^{4x}.
Fatorando e^{4x} (que nunca é zero),
(16A + 4A) e^{4x} = 3 e^{4x} \quad\Rightarrow\quad 20A = 3.
Logo
A = \frac{3}{20}.
Portanto a solução particular é
y_{p}(x)=\frac{3}{20}e^{4x}.

Passo 5

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)+\frac{3}{20}e^{4x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)+\dfrac{3}{20}e^{4x}

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