Encontre a solução geral da equação diferencial utilizando o método dos coeficientes a determinar.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede a solução geral da equação. Informações relevantes que temos:
- A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo do lado direito (não homogêneo) é
. - Precisamos encontrar a solução geral
, que é a soma de uma solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.
Passo 2
Encontrar a solução geral da equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito zero):
Método: procurar soluções do tipo
. Substituindo,
Como
, obtemos a equação característica
Resolvendo,
Quando as raízes são complexas conjugadas
, a solução geral real da homogênea é
Aqui
e
, portanto
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora vamos achar uma solução particular
da equação completa usando o método dos coeficientes a determinar.
Ideia do método (explicação didática): quando o termo não-homogêneo é uma função simples como
, polinômio, seno/cosseno ou produto desses, tenta-se um ansatz (uma forma tentativa) semelhante ao do lado direito com coeficientes desconhecidos. Em seguida substitui-se esse ansatz na equação e determina-se os coeficientes resolvendo um sistema algébrico.
Aplicando aqui: o lado direito é
. A escolha natural é tentar
com
constante a determinar. Antes de usar, verificar se existe ressonância: ressonância ocorre se
fizer parte das soluções da homogênea (isto é, se
fosse raiz da característica). A característica tem raízes
, portanto
não é raiz — não há ressonância — e o ansatz
é adequado.
Passo 4
Calcular as derivadas do ansatz e substituí-las na equação para determinar
.
Derivadas:
Substituindo em
:
Fatorando
(que nunca é zero),
Logo
Portanto a solução particular é
Passo 5
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias.