Encontre a solução geral da equação diferencial utilizando o método dos coeficientes a determinar.
y^{\prime \prime}-5 y=2 e^{2 t}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-5y=2e^{2t}.
Informações dadas e o que devemos retornar:
  • A equação é linear não-homogênea de segunda ordem.
  • O termo não-homogêneo é 2e^{2t}.
  • Queremos a solução geral y(t), que é a soma da solução complementar (homogênea) e de uma solução particular.

Passo 2

Resolver primeiro a equação homogênea associada:
y''-5y=0.
Formamos a equação característica substituindo y=e^{\lambda t}, o que dá
\lambda^2-5=0.
Resolvendo:
\lambda=\pm\sqrt{5}.
Assim a solução complementar (solução geral da homogênea) é
y_c(t)=C_1 e^{\sqrt{5}\,t}+C_2 e^{-\sqrt{5}\,t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora aplicamos o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular y_p da equação completa.
  • O termo não-homogêneo é 2e^{2t}. Para termos da forma e^{rt}, o palpite usual é y_p=Ae^{rt} com A constante desconhecida.
  • Antes de tomar o palpite, verificamos se r=2 é raiz da equação característica. Avaliamos \lambda^2-5 em \lambda=2:
2^2-5=4-5=-1\neq0.
Como 2 não é raiz da característica, não há ressonância e o palpite simples funciona. Logo escolhemos
y_p(t)=A e^{2t},
com A constante a determinar.

Passo 4

Calcule as derivadas de y_p e substitua na equação para achar A.
Derivadas:
y_p'(t)=2A e^{2t},\qquad y_p''(t)=4A e^{2t}.
Substituindo em y''-5y=2e^{2t}:
y_p''-5y_p=(4A e^{2t})-5(A e^{2t})=(4A-5A)e^{2t}=-A e^{2t}.
Esse lado deve ser igual ao termo não-homogêneo 2e^{2t}, portanto
-A e^{2t}=2e^{2t}\quad\Rightarrow\quad -A=2.
Logo
A=-2.

Passo 5

Com A=-2 obtemos a solução particular
y_p(t)=-2e^{2t}.
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da complementar com a particular:
y(t)=y_c(t)+y_p(t)=C_1 e^{\sqrt{5}\,t}+C_2 e^{-\sqrt{5}\,t}-2e^{2t}.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, só para dar confiança): derivando y(t) e substituindo em y''-5y obtém-se exatamente 2e^{2t}, confirmando que a solução está correta. Vai dar trabalhosinho na prova mas é direto: linearidade permite somar as partes e já verificamos a parte particular.

Resposta

y(t)=C_1 e^{\sqrt{5}\,t}+C_2 e^{-\sqrt{5}\,t}-2e^{2t}

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