Encontre a solução geral da equação diferencial utilizando o método dos coeficientes a determinar.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Informações dadas e o que devemos retornar:
- A equação é linear não-homogênea de segunda ordem.
- O termo não-homogêneo é
. - Queremos a solução geral
, que é a soma da solução complementar (homogênea) e de uma solução particular.
Passo 2
Resolver primeiro a equação homogênea associada:
Formamos a equação característica substituindo
, o que dá
Resolvendo:
Assim a solução complementar (solução geral da homogênea) é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora aplicamos o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular
da equação completa.
- O termo não-homogêneo é
. Para termos da forma , o palpite usual é com constante desconhecida. - Antes de tomar o palpite, verificamos se
é raiz da equação característica. Avaliamos em :
Como
não é raiz da característica, não há ressonância e o palpite simples funciona. Logo escolhemos
com
constante a determinar.
Passo 4
Calcule as derivadas de
e substitua na equação para achar
.
Derivadas:
Derivadas:
Substituindo em
:
Esse lado deve ser igual ao termo não-homogêneo
, portanto
Logo
Passo 5
Com
obtemos a solução particular
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da complementar com a particular:
Passo 6
Verificação rápida (opcional, só para dar confiança): derivando
e substituindo em
obtém-se exatamente
, confirmando que a solução está correta. Vai dar trabalhosinho na prova mas é direto: linearidade permite somar as partes e já verificamos a parte particular.