Esboce o gráfico das seguintes funções.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é esboçar o gráfico da função
. Isso faz parte da matéria de geometria analítica ou funções de várias variáveis. Para desenhar esse gráfico, vamos precisar entender como representar superfícies no espaço tridimensional e identificar o tipo de superfície que essa função gera.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Essa é uma função de duas variáveis,
e
, e para cada par
, temos um valor de
. O gráfico dessa função será uma superfície no espaço tridimensional, onde o eixo vertical representa os valores de
.
Passo 3
Agora, vamos identificar que tipo de superfície essa função representa. Observando os termos
e
, percebemos que temos um paraboloide hiperbólico. Isso porque uma parte é positiva (
) e a outra é negativa (
), criando uma forma de sela.
Passo 4
Para esboçar o gráfico, podemos começar identificando algumas características importantes:
- Vértice: Onde a superfície atinge seu ponto central. Para
, o vértice está no ponto . - Direção: Como
é positivo, a superfície se abre ao longo do eixo . Já indica que a superfície se abre negativamente ao longo do eixo . - Curvas de nível: Podemos traçar curvas para valores constantes de
para ajudar a visualizar a superfície.
Passo 5
Vamos traçar algumas curvas de nível para diferentes valores de
:
-
Para
, temos ou . - Se
, a equação representa hipérbolas. - Se
, a equação representa duas retas: e . - Se
, a equação também representa hipérbolas, mas com orientação diferente.
- Se
Passo 6
Com base nessas curvas de nível, podemos visualizar como a superfície se comporta:
- Para valores maiores de
, as hipérbolas se expandem. - Para valores menores de
, as hipérbolas se contraem. - No vértice
, a superfície muda de concavidade, formando uma espécie de sela.
Passo 7
Finalmente, ao juntar todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função
. A superfície resultante será um paraboloide hiperbólico, com a forma de uma sela, aberto ao longo do eixo
e fechado ao longo do eixo
, cruzando o ponto
.
Resposta
O gráfico da função
é um paraboloide hiperbólico, que tem a forma de uma sela no espaço tridimensional, aberto ao longo do eixo
e fechado ao longo do eixo
, com vértice no ponto
.