Esboce o gráfico das seguintes funções.
f) f(x, y) = 1 + x^2 - y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é esboçar o gráfico da função . Isso faz parte da matéria de geometria analítica ou funções de várias variáveis. Para desenhar esse gráfico, vamos precisar entender como representar superfícies no espaço tridimensional e identificar o tipo de superfície que essa função gera.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Essa é uma função de duas variáveis, e , e para cada par , temos um valor de . O gráfico dessa função será uma superfície no espaço tridimensional, onde o eixo vertical representa os valores de .

Passo 3

Agora, vamos identificar que tipo de superfície essa função representa. Observando os termos e , percebemos que temos um paraboloide hiperbólico. Isso porque uma parte é positiva ( ) e a outra é negativa ( ), criando uma forma de sela.

Passo 4

Para esboçar o gráfico, podemos começar identificando algumas características importantes:
  • Vértice: Onde a superfície atinge seu ponto central. Para , o vértice está no ponto .
  • Direção: Como é positivo, a superfície se abre ao longo do eixo . Já indica que a superfície se abre negativamente ao longo do eixo .
  • Curvas de nível: Podemos traçar curvas para valores constantes de para ajudar a visualizar a superfície.

Passo 5

Vamos traçar algumas curvas de nível para diferentes valores de :
  • Para , temos ou .
    • Se , a equação representa hipérbolas.
    • Se , a equação representa duas retas: e .
    • Se , a equação também representa hipérbolas, mas com orientação diferente.

Passo 6

Com base nessas curvas de nível, podemos visualizar como a superfície se comporta:
  • Para valores maiores de , as hipérbolas se expandem.
  • Para valores menores de , as hipérbolas se contraem.
  • No vértice , a superfície muda de concavidade, formando uma espécie de sela.

Passo 7

Finalmente, ao juntar todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função . A superfície resultante será um paraboloide hiperbólico, com a forma de uma sela, aberto ao longo do eixo e fechado ao longo do eixo , cruzando o ponto .

Resposta

O gráfico da função é um paraboloide hiperbólico, que tem a forma de uma sela no espaço tridimensional, aberto ao longo do eixo e fechado ao longo do eixo , com vértice no ponto .

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