Resolva a equação
, para
Passo 1
Fala aí! Vamos resolver a equação diferencial
, onde
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai usar o método das equações características.
Passo 2
Primeiro, a gente transforma a equação diferencial em uma equação algébrica chamada equação característica. Substituímos
por
, ficando:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica
. Isso significa:
Para achar
, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Como
é maior que zero,
é um número real.
Passo 4
Com as raízes
e
, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das funções exponenciais correspondentes a essas raízes. Ou seja:
Aqui,
e
são constantes que a gente determina com condições iniciais, se forem fornecidas.
Passo 5
Substituindo as raízes que encontramos na solução geral, fica:
Resposta
A solução geral da equação
para
é: