Resolva a equação y^prime prime-lambda y=0, para
lambda>0

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver a equação diferencial , onde . Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai usar o método das equações características.

Passo 2

Primeiro, a gente transforma a equação diferencial em uma equação algébrica chamada equação característica. Substituímos r^2 - lambda = 0 por , ficando:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica r^2 = lambda . Isso significa:
r = pm raizlambda
Para achar , tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Como é maior que zero, é um número real.

Passo 4

Com as raízes y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x e , a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das funções exponenciais correspondentes a essas raízes. Ou seja:
Aqui, e são constantes que a gente determina com condições iniciais, se forem fornecidas.

Passo 5

Substituindo as raízes que encontramos na solução geral, fica:
y(x) = C1 e^raizlambda, x + C2 e^-raizlambda, x

Resposta

A solução geral da equação y(x) = C1 e^raizlambda, x + C2 e^-raizlambda, x para é:

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