Encontre o volume do sĂłlido limitado pelos cilindros x^2+y^2=a^2 e x^2+z^2=a^2.
Dica. Calculo o volume da parte do sĂłlido que estĂĄ no primeiro octante e multiple o valor encontrado por 8.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que é interseção de dois cilindros iguais de raio a cuixos eixos são perpendiculares:
x^2+y^2<= a^2
e
x^2+z^2<= a^2
O método sugerido é usar simetria, calcular o volume no primeiro octante ( x,y,z>=0) e depois multiplicar por 8.

Passo 2

No primeiro octante a região é dada por
0<= x<= a, 0<= y<= raiza^2-x^2, 0<= z<= raiza^2-x^2,
pois tanto y^2<= a^2-x^2 quanto z^2<= a^2-x^2 devem valer.

Passo 3

O volume no primeiro octante é
V8 = integralx=0^a integraly=0^raiza^2-x^2 integralz=0^raiza^2-x^2 dz,dy,dx

Passo 4

Primeiro integramos em z e y. Como o limite de z é raiza^2-x^2 e idem para y, temos
integraly=0^raiza^2-x^2 integralz=0^raiza^2-x^2 dz,dy = l(raiza^2-x^2r)timesl(raiza^2-x^2r) = a^2 - x^2

Passo 5

Substituindo no integral em x:
V8 = integral0^a l(a^2 - x^2r),dx = [a^2 x - tfracx^33]0^a = a^3 - tfraca^33 = tfrac2a^33

Passo 6

Pela simetria o volume total é 8 vezes esse valor:
V = 8,V8 = 8 times tfrac2a^33 = tfrac16a^33

Resposta

V = 16a^33

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