Encontre a solução geral das equações:
(1+x^2) y^prime-x y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
l(1+x^2r),y' - x,y = 0
Este é um caso homogêneo e separável: podemos separar as variáveis y e x e depois integrar ambos os lados.

Passo 2

Reescrevendo em forma separável, isolamos y':
y' = x1+x^2,y
Em seguida escrevemos
1y,dydx = x1+x^2
Agora temos entidades de y de um lado e de x do outro.

Passo 3

Integramos cada lado em relação à sua variável:
integral 1y,dy = integral x1+x^2,dx
No lado esquerdo vem
integral 1y,dy = lnl|yr|,
e no direito usamos a substituição u=1+x^2, du=2x,dx, obtendo
integral x1+x^2,dx = 12 integral duu = 12 lnl(1+x^2r) + C
Portanto
lnl|yr| = tfrac12 lnl(1+x^2r) + C

Passo 4

Exponenciando ambos os lados,
l|yr| = e^C,(1+x^2)^1/2
Como e^C é uma constante positiva arbitrária, podemos absorvê-la num único parâmetro real K (podendo ser negativo), chegando a
y = K,raiz1+x^2,
que é a solução geral.

Resposta

y = C,raiz1+x^2,
onde C é constante arbitrária.

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