Nas séries infinitas dadas, determine a fórmula para
em termos de
. Determine se é convergente ou divergente, se for convergente, encontre a soma.
Passo 1
O enunciado pede a soma parcial e a convergência da série
. Vamos usar conteúdo de séries telescópicas e propriedades de logaritmo.
Passo 2
Para telescopar, primeiro aplicamos a identidade de logaritmos:
. Isso transforma a soma de logaritmos num somatório de diferenças.
Passo 3
A soma parcial
fica assim:
Passo 4
Observando o cancelamento telescópico, todos os termos intermediários somam zero, sobrando apenas:
Passo 5
Para analisar a convergência, calculamos o limite de
quando
:
Passo 6
Como o limite é
, a série diverge (não converge para um valor finito).
Resposta
A soma parcial é
e a série diverge (situa-se em
).