Nas séries infinitas dadas, determine a fórmula para Sn em termos de n. Determine se é convergente ou divergente, se for convergente, encontre a soma.
sumn=1^infty ln (n+1n+2)

Passo 1

O enunciado pede a soma parcial e a convergência da série sumn=1^infty lnl(tfracn+1n+2r). Vamos usar conteúdo de séries telescópicas e propriedades de logaritmo.

Passo 2

Para telescopar, primeiro aplicamos a identidade de logaritmos: lnl(tfracn+1n+2r)=ln(n+1)-ln(n+2). Isso transforma a soma de logaritmos num somatório de diferenças.

Passo 3

A soma parcial Sn=sumk=1^nlnl(tfrack+1k+2r) fica assim:
Sn=sumk=1^nl[ln(k+1)-ln(k+2)r]

Passo 4

Observando o cancelamento telescópico, todos os termos intermediários somam zero, sobrando apenas:
Sn=ln2-ln(n+2)=lnl(2n+2r)

Passo 5

Para analisar a convergência, calculamos o limite de Sn quando ntoinfty:
limntoinftySn=limntoinftylnl(2n+2r)=-infty

Passo 6

Como o limite é -infty, a série diverge (não converge para um valor finito).

Resposta

A soma parcial é Sn=lnl(2/(n+2)r) e a série diverge (situa-se em -infty).

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