Ex. 8. Simplifique:
x+ax^3-a^3-1x^2-a^2.

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão de funções racionais
x+ax^3-a^3 ;-;1x^2-a^2
O conteúdo principal aqui é fatoração de soma e diferença de cubos e quadrados, além de colocar as frações sobre um denominador comum.

Passo 2

Começamos fatorando os denominadores:
x^3-a^3=(x-a),(x^2+ax+a^2), x^2-a^2=(x-a),(x+a)
Logo a expressão fica
x+a(x-a)(x^2+ax+a^2) ;-; 1(x-a)(x+a)

Passo 3

O mínimo múltiplo comum dos denominadores é
(x-a)(x+a)(x^2+ax+a^2)
Reescrevendo cada fração sobre esse denominador comum, temos
x+a(x-a)(x^2+ax+a^2) = (x+a),(x+a)(x-a)(x+a)(x^2+ax+a^2) = (x+a)^2(x-a)(x+a)(x^2+ax+a^2),
1(x-a)(x+a) = x^2+ax+a^2(x-a)(x+a)(x^2+ax+a^2)
Portanto
x+ax^3-a^3-1x^2-a^2 = (x+a)^2-l(x^2+ax+a^2r)(x-a)(x+a)(x^2+ax+a^2)

Passo 4

Agora simplificamos o numerador:
(x+a)^2-l(x^2+ax+a^2r) = l(x^2+2ax+a^2r)-l(x^2+ax+a^2r) = ax
Então a expressão fica
ax(x-a)(x+a)(x^2+ax+a^2)

Resposta

ax(x-a)(x+a)(x^2+ax+a^2)

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