Encontre a solução geral das equações abaixo.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=0;

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes \r
y'' - 2y' + 2y = 0. \r
Para resolver, vamos usar o método da equação característica: assumimos uma solução do tipo y=e^{rx} e determinamos os valores de r.

Passo 2

Substituindo y=e^{rx} na equação diferencial, temos \r
y' = re^{rx},\quad y'' = r^2e^{rx}. \r
Logo,\r
r^2e^{rx} - 2\,r e^{rx} + 2\,e^{rx} = 0\r
e, como e^{rx}\neq0, surge a equação característica \r
r^2 - 2r + 2 = 0.

Passo 3

Resolvendo a equação característica \r
r^2 - 2r + 2 = 0\r
usamos a fórmula de Bhaskara:\r
r = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = 1 \pm i.

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas r = 1 \pm i, a forma geral da solução real é \r
y(x) = e^{\alpha x}\bigl(C_{1}\cos(\beta x) + C_{2}\sin(\beta x)\bigr),\r
onde \alpha=1 e \beta=1. Portanto \r
y(x) = e^{x}\bigl(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\bigr),\r
com C_{1} e C_{2} constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = e^{x}\bigl(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\bigr).

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