Use o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular do PVI dado.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=\frac{e^{t}}{1+t^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular da equação
y'' - 2y' + y = \frac{e^t}{1+t^2}
usando o método de variação de parâmetros. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para aplicar variação de parâmetros, precisamos primeiro as soluções fundamentais da homogênea e depois montar as fórmulas para u_1' e u_2'.

Passo 2

Resolvendo a homogênea associada
y'' - 2y' + y = 0
o polinômio característico é
r^2 - 2r + 1 = (r-1)^2 = 0,
logo há raiz dupla r=1. As soluções fundamentais são \,y_1 = e^t e \,y_2 = t\,e^t.

Passo 3

No método de variação de parâmetros escrevemos
y_p = u_1(t)\,y_1 + u_2(t)\,y_2
com as condições suplementares
u_1' y_1 + u_2' y_2 = 0, \quad u_1' y_1' + u_2' y_2' = \frac{e^t}{1+t^2}.
O Wronskiano das soluções y_1,y_2 é
W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\[6pt] y_1' & y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} e^t & t\,e^t \\[3pt] e^t & (1+t)\,e^t \end{vmatrix} = e^t\cdot(1+t)e^t - e^t\cdot t e^t = e^{2t}.]

Passo 4

As fórmulas para u_1' e u_2' são
u_1' = -\frac{y_2 \,\bigl(e^t/(1+t^2)\bigr)}{W} \;,\; u_2' = \frac{y_1 \,\bigl(e^t/(1+t^2)\bigr)}{W}.
Substituindo y_1,y_2 e W:
u_1' = -\frac{t e^t \,\dfrac{e^t}{1+t^2}}{e^{2t}} = -\frac{t}{1+t^2}, \quad u_2' = \frac{e^t \,\dfrac{e^t}{1+t^2}}{e^{2t}} = \frac{1}{1+t^2}.

Passo 5

Integramos cada um:
u_1(t) = -\int \frac{t}{1+t^2}\,dt = -\frac{1}{2}\ln\bigl(1+t^2\bigr), \quad u_2(t) = \int \frac{1}{1+t^2}\,dt = \arctan(t).

Passo 6

Portanto a solução particular é
y_p = u_1\,y_1 + u_2\,y_2 = \Bigl(-\tfrac{1}{2}\ln(1+t^2)\Bigr)e^t + \bigl(\arctan(t)\bigr)\,t\,e^t.
Podemos escrever de forma mais compacta:
\boxed{ y_p(t) = t\,e^t\,\arctan(t)\;-\;\frac{e^t}{2}\,\ln\bigl(1+t^2\bigr). }

Resposta

A solução particular obtida por variação de parâmetros é
y_p(t) = t\,e^t\,\arctan(t)\;-\;\frac{e^t}{2}\,\ln\bigl(1+t^2\bigr).

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