Use o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular do PVI dado. y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=\frac{e^{t}}{1+t^{2}}.
Passo 1
O enunciado pede uma solução particular da equação
y'' - 2y' + y = \frac{e^t}{1+t^2}
usando o método de variação de parâmetros. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para aplicar variação de parâmetros, precisamos primeiro as soluções fundamentais da homogênea e depois montar as fórmulas para u_1' e u_2'.
Passo 2
Resolvendo a homogênea associada
y'' - 2y' + y = 0
o polinômio característico é
r^2 - 2r + 1 = (r-1)^2 = 0,
logo há raiz dupla r=1. As soluções fundamentais são \,y_1 = e^t e \,y_2 = t\,e^t.