Encontre a solução geral das equações abaixo.
4 y^{\prime \prime}+9 y=0;

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
4\,y''+9\,y=0.
Trata-se de uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y(x)=e^{r x}. Substituindo na EDO, obtemos a equação característica:
4\,r^2+9=0.

Passo 3

Da equação
4\,r^2+9=0
vem
r^2=-\frac{9}{4},
logo
r=\pm \frac{3}{2}\,i.
São raízes puramente imaginárias conjugadas.

Passo 4

Para raízes \alpha\pm i\beta a solução geral é
y(x)=C_1e^{\alpha x}\cos(\beta x)+C_2e^{\alpha x}\sin(\beta x).
Aqui \alpha=0 e \beta=\tfrac{3}{2}, portanto
y(x)=C_1\cos\!\bigl(\tfrac{3}{2}x\bigr)+C_2\sin\!\bigl(\tfrac{3}{2}x\bigr).

Resposta

y(x)=C_1\cos\!\bigl(\tfrac{3}{2}x\bigr)+C_2\sin\!\bigl(\tfrac{3}{2}x\bigr).

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