Encontre a solução geral das equações abaixo.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=0;

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' - 3y = 0.
O método padrão é assumir uma solução do tipo y=e^{rx} e transformar a EDO numa equação algébrica em r.

Passo 2

Substituindo y=e^{rx} temos
r^2 e^{rx} + 2r e^{rx} - 3e^{rx} = 0
e, como e^{rx}\neq0, a parte algébrica é a equação característica
r^2 + 2r - 3 = 0.
Resolvendo-a, podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara:
r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4\cdot1\cdot(-3)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}.

Passo 3

As soluções para r são
r_1 = 1, \qquad r_2 = -3.
Como são raízes reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} = C_1 e^{x} + C_2 e^{-3x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-3x}.

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