Encontre a solução geral das equações não homogêneas dadas abaixo.
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Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A estratégia é: primeiro achar a solução geral da homogênea
, depois uma solução particular
usando o método dos coeficientes indeterminados, e por fim somar
.
Passo 2
Resolvendo a equação homogênea
a equação característica é
Logo a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Procuramos uma solução particular para o termo constante
. Como
é polinomial de grau zero, tentamos
onde
é constante. Substituindo em
dá
Portanto
Passo 4
Para o termo
, tentamos
com
. Sabendo que
exigimos
Como
,
, obtemos
Isso é
Igualando coeficientes:
Logo
Passo 5
A solução geral é