Encontre a solução geral das equações não homogêneas dadas abaixo.
y^{\prime \prime}+9 y=t^{2} e^{3 t}+6;

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea
y'' + 9y = t^{2}e^{3t} + 6.
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A estratégia é: primeiro achar a solução geral da homogênea y_h, depois uma solução particular y_p usando o método dos coeficientes indeterminados, e por fim somar y_h+y_p.

Passo 2

Resolvendo a equação homogênea
y'' + 9y = 0,
a equação característica é
r^{2} + 9 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = \pm 3i.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h = C_{1}\cos(3t) + C_{2}\sin(3t),
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Procuramos uma solução particular para o termo constante 6. Como 6 é polinomial de grau zero, tentamos
y_{p1} = K,
onde K é constante. Substituindo em y''+9y=6
0 + 9K = 6 \quad\Longrightarrow\quad K = \tfrac{6}{9} = \tfrac{2}{3}.
Portanto
y_{p1} = \tfrac{2}{3}.

Passo 4

Para o termo t^{2}e^{3t}, tentamos
y_{p2} = P(t)e^{3t},
com P(t)=At^{2}+Bt+C. Sabendo que
y''+9y = e^{3t}\bigl(P'' +2\cdot3P' +3^{2}P +9P\bigr) = e^{3t}\bigl(P'' +6P' +18P\bigr),
exigimos
P''(t) + 6P'(t) + 18P(t) = t^{2}.
Como P''=2A, P'=2At+B, obtemos
2A + 6(2At+B) + 18(At^{2}+Bt+C) = t^{2}.
Isso é
18A\,t^{2} + (12A + 18B)\,t + (2A + 6B + 18C) = 1\cdot t^{2} + 0\cdot t + 0.
Igualando coeficientes:
18A = 1 \\ \Rightarrow\\ A = \tfrac{1}{18},\quad 12A + 18B = 0 \\ \Rightarrow\\ B = -\tfrac{1}{27},\quad 2A + 6B + 18C = 0 \\ \Rightarrow\\ C = \tfrac{1}{162}.
Logo
y_{p2} = \Bigl(\tfrac{1}{18}t^{2} - \tfrac{1}{27}t + \tfrac{1}{162}\Bigr)e^{3t}.

Passo 5

A solução geral é
y(t) = y_h + y_{p1} + y_{p2} = C_{1}\cos(3t) + C_{2}\sin(3t) + \tfrac{2}{3} + \Bigl(\tfrac{1}{18}t^{2} - \tfrac{1}{27}t + \tfrac{1}{162}\Bigr)e^{3t}.

Resposta

y(t) = C_{1}\cos(3t) + C_{2}\sin(3t) + \tfrac{2}{3} + \Bigl(\tfrac{1}{18}t^{2} - \tfrac{1}{27}t + \tfrac{1}{162}\Bigr)e^{3t}.

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