Encontre a solução geral das equações não homogêneas dadas abaixo.
y^{\prime \prime}+4 y=3 \operatorname{sen}(2 t), y(0)=2 e y^{\prime}(0)=-1;

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 4y = 3\sin(2t),\quad y(0)=2,\quad y'(0)=-1.
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Para resolver, vamos:
  1. achar a solução geral da equação homogênea associada;
  2. obter uma solução particular por coeficientes indeterminados, levando em conta ressonância;
  3. aplicar as condições iniciais para determinar as constantes da solução geral.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' + 4y = 0.
A equação característica é r^2 + 4 = 0, cujas raízes são r = \pm 2i. Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(t) = C_1\cos(2t) + C_2\sin(2t),
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar.

Passo 3

O termo de forçamento é 3\sin(2t). Como 2 coincide com a frequência da homogênea, há ressonância e deve-se multiplicar por t a forma usual. Proponho
y_p(t) = A\,t\cos(2t) + B\,t\sin(2t),
com A e B constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos y_p''+4y_p\). Após derivar e agrupar termos, obtém-se \[y_p'' + 4y_p = -4A\sin(2t) + 4B\cos(2t).
Para que isso seja igual a 3\sin(2t), igualamos coeficientes:
\begin{cases} 4B = 0,\\\\ -4A = 3, \end{cases}
de onde B=0\] e \(A = -\tfrac{3}{4}. Logo
y_p(t) = -\tfrac{3}{4}\,t\cos(2t).

Passo 5

A solução geral da não homogênea é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1\cos(2t) + C_2\sin(2t) - \tfrac{3}{4}\,t\cos(2t).
Agora usamos as condições iniciais. Primeiro, em t=0:
y(0) = C_1 - 0 = 2 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = 2.
Em seguida, derivando
y'(t) = -2C_1\sin(2t) + 2C_2\cos(2t) \;+\;\frac{d}{dt}\Bigl(-\tfrac{3}{4}t\cos(2t)\Bigr),
e avaliando em t=0
y'(0) = 2C_2 \;-\;\tfrac{3}{4} = -1 \quad\Longrightarrow\quad 2C_2 = -1 + \tfrac{3}{4} = -\tfrac{1}{4} \quad\Longrightarrow\quad C_2 = -\tfrac{1}{8}.

Resposta

\boxed{ y(t) = 2\cos(2t)\;-\;\tfrac{1}{8}\sin(2t)\;-\;\tfrac{3}{4}\,t\cos(2t). }

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