Encontre a solução geral das equações não homogêneas dadas abaixo.
e
;
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Para resolver, vamos:
- achar a solução geral da equação homogênea associada;
- obter uma solução particular por coeficientes indeterminados, levando em conta ressonância;
- aplicar as condições iniciais para determinar as constantes da solução geral.
Passo 2
A equação homogênea é
A equação característica é
, cujas raízes são
. Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 3
O termo de forçamento é
. Como
coincide com a frequência da homogênea, há ressonância e deve-se multiplicar por
a forma usual. Proponho
com
e
constantes a determinar.
Passo 4
Calculamos
Para que isso seja igual a
, igualamos coeficientes:
de onde
. Logo
Passo 5
A solução geral da não homogênea é
Agora usamos as condições iniciais. Primeiro, em
:
Em seguida, derivando
e avaliando em
dá