Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
y^prime prime+9 y=(x^2+2) e^3 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea de segunda ordem
y'' + 9y = (x^2 + 2)e^3x
O conteúdo aqui é equações lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar que a solução geral é
y = yh + yp,
onde yh é a solução da homogênea associada e yp é uma solução particular.

Passo 2

Encontramos yh resolvendo a equação homogênea
y'' + 9y = 0
O polinômio característico é r^2 + 9 = 0, cujas raízes são r = pm 3i. Logo,
yh = C1cos(3x) + C2sin(3x)

Passo 3

Para yp, como o termo não homogêneo é (x^2+2)e^3x, tentamos um ansatz do tipo
yp = e^3xl(Ax^2 + Bx + Cr)
Definindo p(x)=Ax^2+Bx+C, temos
yp' = e^3x(p'(x) + 3p(x)),
yp'' = e^3x(p''(x) + 6p'(x) + 9p(x))

Passo 4

Substituindo em y'' + 9y = (x^2+2)e^3x, obtemos
e^3xl(p'' + 6p' + 9pr) + 9e^3xp = e^3xl(p'' + 6p' + 18pr) = (x^2 + 2)e^3x
Logo, p deve satisfazer
p''(x) + 6p'(x) + 18p(x) = x^2 + 2
Como p(x)=Ax^2+Bx+C, calculamos
p'(x)=2Ax+B, p''(x)=2A,
então
p'' + 6p' + 18p = 2A + 6(2Ax+B) + 18(Ax^2+Bx+C) =18A,x^2 + (12A+18B)x + (2A+6B+18C)

Passo 5

Comparamos coeficientes em
18A,x^2 + (12A+18B)x + (2A+6B+18C) = x^2 + 0cdot x + 2:
18A = 1, 12A + 18B = 0, 2A + 6B + 18C = 2
Dessa forma,
A = tfrac118, 12!l(tfrac118r) + 18B = 0;Rightarrow;B = -tfrac127, 2!l(tfrac118r) + 6!l(-tfrac127r) + 18C = 2;Rightarrow;C = tfrac19162

Passo 6

Assim, a solução particular é
yp = e^3xl(tfrac118x^2 - tfrac127x + tfrac19162r)
A solução geral fica
y(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x) + e^3xl(tfrac118x^2 - tfrac127x + tfrac19162r)

Resposta

y(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x) + e^3xl(tfrac118x^2 - tfrac127x + tfrac19162r)

Exercícios relacionados