Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea de segunda ordem
O conteúdo aqui é equações lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar que a solução geral é
onde
é a solução da homogênea associada e
é uma solução particular.
Passo 2
Encontramos
resolvendo a equação homogênea
O polinômio característico é
, cujas raízes são
. Logo,
Passo 3
Para
, como o termo não homogêneo é
, tentamos um ansatz do tipo
Definindo
, temos
Passo 4
Substituindo em
, obtemos
Logo,
deve satisfazer
Como
, calculamos
então
Passo 5
Comparamos coeficientes em
Dessa forma,
Passo 6
Assim, a solução particular é
A solução geral fica