Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo é equações lineares não-homogêneas e vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que consiste em:
- Encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
- Obter uma solução particular para cada termo do segundo membro.
- Somar as duas para ter a solução geral.
Passo 2
Começamos pela parte homogênea
A equação característica é
Logo a solução geral homogênea é
com
e
constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora achamos uma solução particular
para o termo
. Como
e
não aparecem na homogênea, tentamos
Calculamos
e
Queremos isso igual a
, ou seja
o que dá o sistema
Portanto
Passo 4
Para o termo
, escolhemos
Então
que deve ser igual a
. Assim
e
Passo 5
Para o termo constante
, usamos uma constante
:
que deve dar
. Logo
e
Passo 6
A solução particular total é a soma
Logo a solução geral da EDO é