Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
y^prime prime-y=3 sen x-e^2 x+1

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y = 3sin x - e^2x + 1
O conteúdo é equações lineares não-homogêneas e vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que consiste em:
  1. Encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
  2. Obter uma solução particular para cada termo do segundo membro.
  3. Somar as duas para ter a solução geral.

Passo 2

Começamos pela parte homogênea
y'' - y = 0
A equação característica é
r^2 - 1 = 0 Longrightarrow r = pm 1
Logo a solução geral homogênea é
yh = C1 e^x + C2 e^-x,
com C1 e C2 constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora achamos uma solução particular yp1 para o termo 3sin x. Como sin x e cos x não aparecem na homogênea, tentamos
yp1 = Acos x + Bsin x
Calculamos
yp1'' = -Acos x - Bsin x
e
yp1'' - yp1 = (-Acos x - Bsin x) - (Acos x + Bsin x) = -2Acos x -2Bsin x
Queremos isso igual a 3sin x, ou seja
-2Acos x -2Bsin x = 0cdotcos x + 3sin x
o que dá o sistema
-2A = 0, -2B = 3 ;Longrightarrow; A = 0,; B = -tfrac32
Portanto
yp1 = -tfrac32,sin x

Passo 4

Para o termo -e^2x, escolhemos
yp2 = C,e^2x
Então
yp2'' - yp2 = 4C,e^2x - C,e^2x = 3C,e^2x
que deve ser igual a -e^2x. Assim
3C = -1 Longrightarrow C = -tfrac13,
e
yp2 = -tfrac13,e^2x

Passo 5

Para o termo constante +1, usamos uma constante D:
yp3 = D Longrightarrow yp3'' - yp3 = 0 - D = -D
que deve dar 1. Logo
-D = 1 Longrightarrow D = -1,
e
yp3 = -1

Passo 6

A solução particular total é a soma
yp = yp1 + yp2 + yp3 = -tfrac32sin x ;-;tfrac13 e^2x;-;1
Logo a solução geral da EDO é
y = yh + yp = C1 e^x + C2 e^-x - tfrac32sin x - tfrac13 e^2x - 1

Resposta

boxedy(x) = C1 e^x + C2 e^-x - tfrac32sin x - tfrac13 e^2x - 1, C1,C2inR

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