Uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes possui
e 3 como raízes da equação polinomial associada. Qual a solução geral dessa equação?
Passo 1
O enunciado diz que temos uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes cuja equação característica tem as raízes
Isso indica raízes reais repetidas e pares de raízes complexas repetidas. Para resolver, usamos a regra:
- Uma raiz real
de multiplicidade gera as soluções . - Um par de raízes complexas
de multiplicidade gera as soluções
e, se , também
, até multiplicando.
Passo 2
Identificando as multiplicidades:
- A raiz real
aparece 3 vezes. - O par complexo
aparece 2 vezes (ou seja, multiplicidade ). - A raiz real
aparece 2 vezes.
Passo 3
Para a raiz real
de multiplicidade 3, temos as soluções fundamentais
Passo 4
Para o par complexo
com multiplicidade 2, geramos primeiro
e
, e como a multiplicidade é 2, também multiplicamos por
:
Passo 5
Para a raiz real
de multiplicidade 2, as soluções são
Passo 6
A solução geral é a combinação linear de todas essas soluções fundamentais.
Resposta
onde
são constantes arbitrárias.