Uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes possui 2,2,2,3+ 4 i, 3-4 i, 3+4 i, 3-4 i, 3 e 3 como raízes da equação polinomial associada. Qual a solução geral dessa equação?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes cuja equação característica tem as raízes
2,2,2,;3+4i,,3-4i,,3+4i,,3-4i,;3,3
Isso indica raízes reais repetidas e pares de raízes complexas repetidas. Para resolver, usamos a regra:
  • Uma raiz real r de multiplicidade m gera as soluções e^r x,,x e^r x,dots,x^m-1 e^r x.
  • Um par de raízes complexas alphapmbeta i de multiplicidade k gera as soluções
    e^alpha xcos(beta x),, e^alpha xsin(beta x) e, se k>1, também
    x e^alpha xcos(beta x),,x e^alpha xsin(beta x),dots, até x^k-1 multiplicando.

Passo 2

Identificando as multiplicidades:
  • A raiz real 2 aparece 3 vezes.
  • O par complexo 3pm4i aparece 2 vezes (ou seja, multiplicidade k=2).
  • A raiz real 3 aparece 2 vezes.

Passo 3

Para a raiz real r=2 de multiplicidade 3, temos as soluções fundamentais
e^2x, x, e^2x, x^2, e^2x

Passo 4

Para o par complexo alphapmbeta i = 3pm4i com multiplicidade 2, geramos primeiro
e^3xcos(4x) e e^3xsin(4x), e como a multiplicidade é 2, também multiplicamos por x:
e^3xcos(4x), e^3xsin(4x), x, e^3xcos(4x), x, e^3xsin(4x)

Passo 5

Para a raiz real r=3 de multiplicidade 2, as soluções são
e^3x, x, e^3x

Passo 6

A solução geral é a combinação linear de todas essas soluções fundamentais.

Resposta

y(x)=C1, e^2x+C2,x, e^2x+C3,x^2, e^2x +C4, e^3xcos(4x)+C5, e^3xsin(4x) +C6,x, e^3xcos(4x)+C7,x, e^3xsin(4x) +C8, e^3x+C9,x, e^3x,
onde C1,dots,C9 são constantes arbitrárias.

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