Resolva o problema de valor inicial y^prime prime+y=0, y(0)=2, y^prime(0)=-3.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y = 0
sujeita às condições iniciais
y(0)=2, y'(0)=-3
O conteúdo aqui é a resolução de uma EDO de segunda ordem por meio da equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica associada substituindo ysim e^rx:
r^2 + 1 = 0
As raízes são
r = pm i

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas r=pm i, a solução geral real é
y(x) = C1cos(x) + C2sin(x)

Passo 4

Calculamos y'(x) e aplicamos as condições iniciais para determinar C1 e C2.
y'(x) = -C1sin(x) + C2cos(x)
Em x=0:
y(0)=C1=2, y'(0)=C2=-3
Logo C1=2 e C2=-3.

Resposta

y(x) = 2cos(x) ;-; 3sin(x)

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