Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+3 y=x^{3}+\operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + 3y = x^3 + sin x
Queremos a solução geral, que é a soma da solução complementar da homogênea e de uma particular da não homogênea. Para isso, usaremos o método da equação característica para a parte homogênea e coeficientes indeterminados para a parte não homogênea.

Passo 2

Analisamos a homogênea
y'' - 2y' + 3y = 0
A equação característica é
r^2 - 2r + 3 = 0
Suas raízes são
r = 2 pm raiz4 - 122 = 1 pm iraiz2
Logo a solução complementar é
yc(x) = e^xl(C1cos(raiz2,x) + C2sin(raiz2,x)r)

Passo 3

Procuramos uma particular yp1 para a parte polinomial x^3. Como 0 não é raiz da característica, tentamos
yp1(x) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D
Calculando
yp1' = 3Ax^2 + 2Bx + C, yp1'' = 6Ax + 2B,
e substituindo em y'' -2y' +3y = x^3, igualamos coeficientes de x^3,x^2,x^1,x^0. Isso dá o sistema
3A = 1, -6A + 3B = 0, 6A - 4B + 3C = 0, 2B - 2C + 3D = 0
Resolvendo, obtemos
A = tfrac13, B = tfrac23, C = tfrac29, D = -tfrac827
Portanto
yp1(x) = tfrac13 x^3 + tfrac23 x^2 + tfrac29x - tfrac827

Passo 4

Para a parte sin x, tentamos
yp2(x) = Mcos x + Nsin x
Então
yp2' = -Msin x + Ncos x, yp2'' = -Mcos x - Nsin x
Substituindo em y'' -2y' +3y = sin x e igualando coeficientes de cos x e sin x, obtemos o sistema
2M - 2N = 0, 2M + 2N = 1,
cuja solução é
M = tfrac14, N = tfrac14
Logo
yp2(x) = tfrac14cos x + tfrac14sin x

Passo 5

A solução geral é
y(x) = yc(x) + yp1(x) + yp2(x)

Resposta

y(x) = e^xl(C1cos(raiz2,x) + C2sin(raiz2,x)r) + tfrac13 x^3 + tfrac23 x^2 + tfrac29x - tfrac827 + tfrac14cos x + tfrac14sin x

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