Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+3 y=x^{3}+\operatorname{sen} x
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Queremos a solução geral, que é a soma da solução complementar da homogênea e de uma particular da não homogênea. Para isso, usaremos o método da equação característica para a parte homogênea e coeficientes indeterminados para a parte não homogênea.
Passo 2
Analisamos a homogênea
A equação característica é
Suas raízes são
Logo a solução complementar é
Passo 3
Procuramos uma particular para a parte polinomial . Como não é raiz da característica, tentamos
Calculando
e substituindo em , igualamos coeficientes de . Isso dá o sistema
Resolvendo, obtemos
A = tfrac13, B = tfrac23, C = tfrac29, D = -tfrac827