Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=2 x^{2}-1

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 5y' + 6y = 2x^2 - 1
Para resolver usamos dois ingredientes:
  1. a solução geral da homogênea associada,
  2. uma solução particular da não–homogênea (método dos coeficientes a determinar).

Passo 2

Encontrar a solução da equação homogênea
y'' - 5y' + 6y = 0
Formamos a equação característica
r^2 - 5r + 6 = 0
e obtemos as raízes
r1 = 2, r2 = 3
Logo a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^2x + C2 e^3x

Passo 3

Propor uma solução particular polinomial de grau 2, já que o lado direito é 2x^2-1:
yp(x) = A x^2 + B x + C
Então
yp'(x) = 2A x + B, yp''(x) = 2A

Passo 4

Substituir yp, yp' e yp'' na equação original:
yp'' -5yp' +6yp =2A -5(2A x + B) +6(Ax^2 + Bx + C)
=6A x^2 +(-10A+6B)x + (2A -5B +6C)
Esse polinômio deve coincidir com 2x^2 -1, logo igualamos coeficientes:
6A = 2, -10A + 6B = 0, 2A - 5B + 6C = -1
Resolvendo:
A = tfrac13, 6B = 10/3 Rightarrow B = tfrac59, 2/3 - 25/9 + 6C = -1 Rightarrow C = tfrac527
Portanto
yp(x) = x^23 + 5x9 + 527

Passo 5

A solução geral da equação não–homogênea é a soma de yh e yp:
y(x) = C1 e^2x + C2 e^3x + x^23 + 5x9 + 527

Resposta

boxedy(x) = C1 e^2x + C2 e^3x + x^23 + 5x9 + 527,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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