Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=2 x^{2}-1
y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=2 x^{2}-1
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Para resolver usamos dois ingredientes:
- a solução geral da homogênea associada,
- uma solução particular da não–homogênea (método dos coeficientes a determinar).
Passo 2
Encontrar a solução da equação homogênea
Formamos a equação característica
e obtemos as raízes
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Propor uma solução particular polinomial de grau 2, já que o lado direito é
:
Então
Passo 4
Substituir
,
e
na equação original:
Esse polinômio deve coincidir com
, logo igualamos coeficientes:
Resolvendo:
Portanto
Passo 5
A solução geral da equação não–homogênea é a soma de
e
:
Resposta
onde
e
são constantes arbitrárias.