Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
y^{\prime \prime}-y=3 \operatorname{sen} x-e^{2 x}+1

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear não homogênea
y'' - y = 3sin x - e^2x + 1,
que obtemos somando a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, tratando cada termo não homogêneo separadamente.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' - y = 0
A equação característica é
r^2 - 1 = 0,
cuja solução é r=pm1. Logo a solução geral homogênea é
yh = C1 e^x + C2 e^-x,
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Passo 3

Para a parte particular, escrevemos
yp = yp1 + yp2 + yp3,
onde yp1 atende ao termo 3sin x, yp2 ao termo -e^2x e yp3 ao termo constante 1.

Passo 4

Para 3sin x usamos o palpite
yp1 = Acos x + Bsin x
Calculando yp1''=-Acos x - Bsin x e substituindo em y''-y vem
(-Acos x - Bsin x)-(Acos x + Bsin x) =-2Acos x -2Bsin x = 3sin x
Comparando coeficientes: -2A=0 e -2B=3, logo A=0, B=-tfrac32. Assim
yp1 = -tfrac32sin x

Passo 5

Para -e^2x tentamos
yp2 = C e^2x
Temos yp2''=4C e^2x, então
yp2''-yp2=(4C-C)e^2x=3C e^2xstackrel!=-e^2x,
de onde 3C=-1, ou C=-tfrac13. Assim
yp2 = -tfrac13 e^2x

Passo 6

Para o termo constante 1 escolhemos
yp3 = D,
de modo que yp3''=0 e
yp3''-yp3=-D=1implies D=-1
Logo
yp3 = -1

Passo 7

Somando as partes particulares:
yp = -tfrac32sin x ;-;tfrac13e^2x;-;1
A solução geral da EDO é
y = yh + yp = C1 e^x + C2 e^-x - tfrac32sin x - tfrac13e^2x - 1

Resposta

y(x) = C1 e^x + C2 e^-x - tfrac32sin x - tfrac13e^2x - 1

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