Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
y^{\prime \prime}-y=3 \operatorname{sen} x-e^{2 x}+1
y^{\prime \prime}-y=3 \operatorname{sen} x-e^{2 x}+1
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO linear não homogênea
que obtemos somando a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, tratando cada termo não homogêneo separadamente.
Passo 2
A equação homogênea é
A equação característica é
cuja solução é
. Logo a solução geral homogênea é
com
constantes arbitrárias.
Passo 3
Para a parte particular, escrevemos
onde
atende ao termo
,
ao termo
e
ao termo constante
.
Passo 4
Para
usamos o palpite
Calculando
e substituindo em
vem
Comparando coeficientes:
e
, logo
,
. Assim
Passo 5
Para
tentamos
Temos
, então
de onde
, ou
. Assim
Passo 6
Para o termo constante
escolhemos
de modo que
e
Logo
Passo 7
Somando as partes particulares:
A solução geral da EDO é