Funções por partes (para estudo de continuidade e limites)
(a) f(x)= x^2 sin (e^1x), & x<0 x^4+3 x^2-4 x+1, & x >= 0

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
f(x)= x^2,sinl(e^1xr),&x<0, x^4+3x^2-4x+1,&x>=0,
e pede o estudo dos limites laterais em x=0 e a continuidade de f. Vamos usar o Teorema do Confronto (squeeze theorem) para o ramo oscilatório e a continuidade de polinômios para o ramo de x>=0.

Passo 2

Para o limite pela esquerda, note que sinl(e^1xr) está sempre entre -1 e 1. Logo,
-,x^2<= x^2,sinl(e^tfrac1xr)<= x^2
Como limxto0^-(-x^2)=0 e limxto0^-x^2=0, pelo Teorema do Confronto
limxto0^-x^2,sinl(e^tfrac1xr)=0

Passo 3

Para o limite pela direita, basta usar que polinômios são contínuos. Então
limxto0^+l(x^4+3x^2-4x+1r) =0^4+3cdot0^2-4cdot0+1 =1

Passo 4

O valor de f em x=0 vem do ramo x>=0, ou seja,
f(0)=0^4+3cdot0^2-4cdot0+1=1

Passo 5

Como limxto0^-f(x)=0neq1=limxto0^+f(x), os limites laterais em 0 são diferentes. Logo f não é contínua em x=0. Em todos os outros pontos ( x<0 ou x>0), cada ramo é contínuo, então f é contínua em Rsetminus0.

Resposta

limxto0^-f(x)=0, limxto0^+f(x)=1, f(0)=1
f é descontínua em x=0 e contínua em Rsetminus0.

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